Número de Shannon: ¿cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El número de Shannon se cita a menudo para ilustrar la riqueza del juego del ajedrez. También es un excelente recurso para trabajar las potencias de 10, la notación científica y los órdenes de magnitud, desde la ESO hasta el bachillerato. Eso sí, conviene saber de dónde procede, qué mide exactamente y qué no mide.

Número de Shannon

Estimación prudente, de unas 10¹²⁰, del número de partidas de ajedrez posibles, propuesta por el matemático e ingeniero estadounidense Claude Shannon en el artículo «Programming a Computer for Playing Chess», publicado en 1950 en la revista Philosophical Magazine.

El número de Shannon: ¿de dónde sale el cálculo?

Claude Shannon (1916-2001) es conocido como el fundador de la teoría de la información. En 1950 publicó uno de los primeros artículos sobre la programación de un ordenador para jugar al ajedrez. Para demostrar que una máquina no puede simplemente calcular todas las secuencias de jugadas, hizo una estimación rápida:

1. En una posición típica hay unas 30 jugadas legales. Esta cifra se mantiene más o menos constante durante buena parte de la partida.
2. Una jugada blanca seguida de una negra da, por tanto, unas 30 × 30 = 900 posibilidades, que Shannon redondea a 10³.
3. Una partida típica dura unas 40 jugadas (40 jugadas blancas y 40 negras) hasta que un jugador abandona.
4. El número de secuencias de jugadas vale, pues, unas (10³)⁴⁰ = 10¹²⁰.

Shannon añade que una máquina que examinara una variante por microsegundo tardaría más de 10⁹⁰ años en calcular su primera jugada. De ello concluye que un programa de ajedrez debe evaluar las posiciones y elegir las variantes que explorar, como hace un jugador humano.

Partidas y posiciones: dos números diferentes

No hay que confundir el número de partidas (secuencias de jugadas) con el número de posiciones (disposiciones de las piezas en el tablero). Una misma posición puede alcanzarse a través de millones de partidas distintas.

Shannon estimaba el número de posiciones mediante la fórmula 64! / (32! × 8!² × 2!⁶), que cuenta las formas de colocar las 32 piezas iniciales en las 64 casillas; el resultado es unos 4,6 × 10⁴², que redondea a «unos 10⁴³». La estimación moderna de John Tromp, (4,82 ± 0,03) × 10⁴⁴ posiciones legales, se obtiene de otra manera: extrayendo al azar dos millones de posiciones de un conjunto que se sabe contar y comprobando cuáles son realmente alcanzables en una partida, con la ayuda de Peter Österlund para el análisis informático.

Las primeras jugadas: un cálculo exacto

Al inicio de la partida se puede contar con exactitud. Las blancas tienen 20 jugadas posibles (16 de peones y 4 de caballos). Lo mismo las negras. Se obtiene:

Valores recalculados por programa a partir de la posición inicial (recuento de todas las secuencias de jugadas legales).

Tras solo dos jugadas de cada bando, ya superamos las 197 000 secuencias posibles. El factor de multiplicación aumenta después, porque las piezas salen y tienen más opciones: esto justifica la hipótesis de unas treinta jugadas por posición.

¿De dónde sale la estimación de 10¹²³?

En 1994, el investigador neerlandés Victor Allis repitió el cálculo con hipótesis distintas: unas 35 jugadas posibles por posición y partidas de 80 semijugadas (40 jugadas de cada bando). Se obtiene 35⁸⁰. Para expresarlo como potencia de 10 se usa el logaritmo decimal: 80 × log(35) ≈ 80 × 1,544 ≈ 123,5. De ahí el orden de magnitud de 10¹²³. El método es exactamente el de Shannon; solo cambian los parámetros, lo que muestra hasta qué punto el resultado depende de las hipótesis.

Con los parámetros exactos de Shannon, 900⁴⁰ vale, por cierto, unos 10¹¹⁸ y no 10¹²⁰: es el redondeo de 900 a 1000 lo que da la cifra redonda y bonita. Para un orden de magnitud tan gigantesco, la diferencia no tiene ninguna importancia práctica.

Cómo explicarlo en clase

El número de Shannon es ideal para trabajar las potencias de 10, que forman parte del programa de 4.º de ESO. Algunas pistas:

• Escribir el número: 10¹²⁰ se escribe con un 1 seguido de 120 ceros. Se puede pedir que lo escriban en la pizarra… y medir el tiempo que tardan.
• Calcular con potencias: (10³)⁴⁰ = 10^{3 × 40} = 10¹²⁰ es una aplicación directa de la regla (a^m)ⁿ = a^{m × n}.
• Comparar órdenes de magnitud: 10¹²⁰ dividido entre 10⁸⁰ da 10⁴⁰. Aunque cada átomo del Universo fuera un ordenador, cada uno tendría que procesar todavía 10⁴⁰ partidas.
• Discutir las hipótesis: ¿por qué 30 jugadas por posición? ¿por qué 40 jugadas por partida? ¿Qué cambia si la partida dura 60 jugadas? (Respuesta: (10³)⁶⁰ = 10¹⁸⁰.)

El número de granos del tablero de Sissa, unos 1,8 × 10¹⁹, parece minúsculo en comparación: contrastar ambos es un buen ejercicio. Véase el cálculo del tablero de Sissa.

¿Se pueden «resolver» los ajedrez?

Resolver un juego significa saber con certeza qué resultado (victoria de blancas, de negras o tablas) se obtiene con una partida perfecta por ambos bandos. El número de Shannon demuestra que no es posible lograrlo explorando todas las partidas. Los ordenadores, eso sí, han resuelto todas las posiciones con pocas piezas, gracias a las tablas de finales. Para saber en qué punto está la cuestión, el Palais des Échecs se preguntó si el ajedrez podrá resolverse algún día.

El número de Shannon y otros grandes números del tablero

El tablero es una pequeña fábrica de grandes números: 2⁶⁴ − 1 granos de Sissa, más de 26 000 000 000 000 recorridos cerrados del caballo, 92 soluciones al problema de las ocho damas, 204 cuadrados… Puedes encontrarlos en nuestra página los grandes acertijos del tablero.