El tablero de Sissa: ¿cuántos granos de arroz? El cálculo explicado paso a paso

La leyenda se cuenta de muchas maneras, pero su núcleo matemático nunca cambia. Un rey quiere recompensar al inventor del juego de ajedrez, un sabio al que la tradición llama Sissa. Este reclama una recompensa de apariencia modesta: un grano en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente, duplicando en cada casilla hasta la 64^a. El rey acepta riendo… y descubre que todo el grano del reino no bastará.

La leyenda del tablero de Sissa en pocas líneas

Según las versiones, la recompensa es en granos de trigo o de arroz, y el rey recibe nombres distintos (Belkib, por ejemplo, en varios relatos francófonos). La historia es una leyenda: no narra el origen real del ajedrez. El relato escrito más antiguo conocido de esta historia se atribuye al historiador Ibn Jallikán, en 1256. Lo que importa aquí es el cálculo, y es implacable.

Problema del tablero de Sissa

Problema que consiste en colocar 1 grano en la primera casilla de un tablero y duplicar el número de granos en cada casilla siguiente. La casilla n contiene 2ⁿ⁻¹ granos, y el total de las 64 casillas vale 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos.

El enunciado típico de un ejercicio de 4.º de ESO

De una forma u otra, este es el ejercicio que aparece en muchos cuadernos de instituto:

El cálculo paso a paso

1. Granos en una casilla determinada

En la 1^.ª casilla hay 1 grano, que puede escribirse como 2⁰. En la 2^.ª, 2 = 2¹. En la 3^.ª, 4 = 2². En la 4^.ª, 8 = 2³. En cada casilla el exponente aumenta en 1, pero siempre va un paso por detrás del número de la casilla. Por tanto, la casilla número n contiene 2ⁿ⁻¹ granos: la 10^.ª casilla tiene 2⁹ = 512, y la 64^.ª tiene 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. El total: una observación que lo resuelve todo

Sumemos las primeras casillas: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. La casilla siguiente contiene 32. El total de las casillas anteriores siempre es la casilla siguiente menos 1. Lo comprobamos en cada paso: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Así, el total de las 64 casillas es igual a la «casilla 65» menos 1, es decir, 2⁶⁴ − 1.

3. La demostración, para los más avanzados

Llamemos S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multipliquemos por 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Restemos la primera línea a la segunda: casi todos los términos desaparecen y queda 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Por tanto, S = 2⁶⁴ − 1. Es un caso particular de la suma de una progresión geométrica de razón 2, que se estudia en 1.º de bachillerato.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Se lee: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil millones setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince. Una calculadora de instituto suele mostrar 2⁶⁴ en forma de 1,844674407 × 10¹⁹: no tiene suficientes cifras para escribirlo completo y, por tanto, no puede mostrar la diferencia entre 2⁶⁴ y 2⁶⁴ − 1.

Tabla casilla por casilla

Dos observaciones sorprenden a los alumnos. Primero, la primera fila del tablero (8 casillas) contiene solo 255 granos: un puñado pequeño. Después, la última casilla contiene por sí sola un grano más que las 63 casillas anteriores juntas. Es la marca de un crecimiento exponencial: cada duplicación pesa tanto como toda la historia que la precede.

¿Cuántas toneladas de arroz? Un orden de magnitud

Para pasar de granos a toneladas hace falta una hipótesis sobre la masa de un grano, que varía según la variedad. Un grano de arroz pesa unas pocas centésimas de gramo: el artículo de Wikipedia dedicado al problema toma 0,04 g, y mediciones agronómicas de algunas variedades dan más bien algo más de 0,025 g (unos 26 g por mil granos). Las dos hipótesis dan:

Cálculo: 18 446 744 073 709 551 615 × masa de un grano. Comparación con una cosecha mundial de unos 776 millones de toneladas de arroz en 2022 (datos de FAOSTAT recogidos por Wikipedia). Con granos de trigo de 65 mg, hipótesis que adopta el artículo en inglés de Wikipedia, se superan los 1 199 000 millones de toneladas.

Dicho de otra forma: contando un grano por segundo, sin parar nunca, harían falta unos 585 000 millones de años para contar todos los granos, es decir, más de cuarenta veces la edad estimada del Universo.

Obtener el orden de magnitud sin calculadora

Un truco útil en clase: 2¹⁰ = 1 024, es decir, aproximadamente 1 000 = 10³. Ahora bien, 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, luego aproximadamente 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. El valor real es 1,84 × 10¹⁹: la aproximación se queda algo corta, porque cada «1 024 ≈ 1 000» pierde un 2,4 %, seis veces seguidas. Es un buen ejercicio sobre potencias y notación científica.

Las preguntas que plantean los alumnos

¿Y si en lugar de duplicar triplicamos?

Con un triplicado, la casilla n contiene 3ⁿ⁻¹ granos, y el total vale (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. El mismo método (multiplicar S por 3 y después restar) da el resultado. El número obtenido supera 10³⁰.

¿Cuántas casillas hacen falta para superar un millón de granos?

El total tras n casillas vale 2ⁿ − 1. Como 2¹⁹ = 524 288 y 2²⁰ = 1 048 576, hacen falta 20 casillas para superar un millón de granos en total. Y hacen falta 30 casillas para superar los mil millones (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

¿Por qué aparece 2⁶⁴ en informática?

Porque un número escrito con 64 bits puede tomar exactamente 2⁶⁴ valores distintos. El mayor entero positivo codificable con 64 bits sin signo es, por tanto, 2⁶⁴ − 1: el mismo número que el de Sissa.

Para ir más lejos

El tablero esconde otros números gigantescos. El número de partidas de ajedrez posibles, estimado por Claude Shannon, hace que el de Sissa parezca minúsculo: véase otros números muy grandes del ajedrez con el número de Shannon. Para problemas más geométricos, visita los acertijos matemáticos del tablero. Y para mantener la mente despierta entre dos ejercicios, Le Palais des Échecs propone un test de lógica matemática para practicar.