Le problème de l'échiquier de Sissa : combien de grains de riz ? Le calcul expliqué étape par étape

Les versions de cette histoire sont nombreuses, mais le mécanisme mathématique reste toujours le même. Un souverain souhaite honorer celui qui a conçu le jeu d'échecs, un sage que la tradition appelle Sissa. Ce dernier demande pourtant une faveur qui paraît anodine : un grain posé sur la première case, puis deux sur la suivante, quatre sur la troisième, la quantité étant chaque fois multipliée par deux jusqu'à atteindre la 64^e case. Le monarque y consent d'un air amusé, avant de comprendre que la totalité des céréales de son royaume ne suffirait pas à honorer cette promesse.

Résumé de la légende de l'échiquier de Sissa, en quelques lignes

Selon les récits, la récompense porte sur des grains de blé ou de riz, et le roi reçoit des noms différents (Belkib, par exemple, dans plusieurs textes en français). Il s'agit d'une légende : elle n'explique pas l'origine réelle du jeu d'échecs. Le plus ancien récit écrit connu est attribué à l'historien Ibn Khallikan, en 1256. Ce qui importe ici, c'est le calcul, et celui-ci ne laisse aucune place au doute.

Le problème de l'échiquier de Sissa

Problème consistant à poser 1 grain sur la première case d'un échiquier, puis à doubler le nombre de grains à chaque case suivante. La case numéro n porte 2ⁿ⁻¹ grains, et le total des 64 cases vaut 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.

L'énoncé typique d'un exercice de 4e

Sous diverses formes, cet exercice figure dans beaucoup de manuels de collège :

Le calcul étape par étape

1. Nombre de grains sur une case donnée

La 1^re case porte 1 grain, qu'on peut écrire 2⁰. La 2^e en porte 2 = 2¹, la 3^e en porte 4 = 2², la 4^e en porte 8 = 2³. D'une case à l'autre, l'exposant gagne une unité, mais reste toujours en retrait d'un par rapport au numéro de la case. Ainsi, la case numéro n contient 2ⁿ⁻¹ grains : la 10^e case en porte 2⁹ = 512, et la 64^e en porte 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Le total : une remarque qui résout tout

Additionnons les premières cases : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. La case suivante en porte 32. Le total des cases précédentes égale toujours la case suivante diminuée de 1. Cela se vérifie à chaque étape : 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Le total des 64 cases correspond donc à la « 65^e case » moins 1, soit 2⁶⁴ − 1.

3. La démonstration, pour les plus avancés

Notons S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplions par 2 : 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Retranchons la première ligne de la seconde : presque tous les termes s'annulent, et il reste 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Donc S = 2⁶⁴ − 1. Il s'agit d'un cas particulier de la somme d'une suite géométrique de raison 2, vue en classe de première.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Se lit : dix-huit trillions quatre cent quarante-six billiards sept cent quarante-quatre billions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cent quinze. Une calculatrice de collège affiche en général 2⁶⁴ sous la forme 1,844674407 × 10¹⁹ : elle n'a pas assez de chiffres pour l'écrire en entier, et ne peut donc pas faire apparaître la différence entre 2⁶⁴ et 2⁶⁴ − 1.

Tableau case après case

Deux constats frappent souvent les élèves. D'abord, la première rangée de l'échiquier (8 cases) ne totalise que 255 grains : une petite poignée. Ensuite, la dernière case porte à elle seule un grain de plus que les 63 cases précédentes réunies. C'est la signature d'une croissance exponentielle : chaque doublement pèse autant que tout ce qui l'a précédé.

Combien de tonnes de riz ? Une estimation de l'ordre de grandeur

Pour convertir les grains en tonnes, il faut faire une hypothèse sur la masse d'un grain, qui varie selon les variétés. Un grain de riz pèse quelques centièmes de gramme : l'article de Wikipédia consacré au problème retient 0,04 g, tandis que des mesures agronomiques sur certaines variétés donnent plutôt un peu plus de 0,025 g (environ 26 g pour mille grains). Les deux hypothèses donnent :

Calcul : 18 446 744 073 709 551 615 multiplié par le poids d'un grain. On compare ensuite au total d'environ 776 millions de tonnes de riz récoltées en 2022 (chiffres FAOSTAT repris par Wikipédia). En retenant des grains de blé de 65 mg, choix fait par l'article anglophone de Wikipédia, on franchit la barre des 1 199 milliards de tonnes.

Autrement dit : en comptant un grain par seconde, sans jamais s'arrêter, il faudrait environ 585 milliards d'années pour tout compter, soit plus de quarante fois l'âge estimé de l'Univers.

Trouver l'ordre de grandeur sans calculatrice

Une astuce utile en classe : 2¹⁰ = 1 024, soit à peu près 1 000 = 10³. Or 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, donc environ 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. La valeur exacte est 1,84 × 10¹⁹ : l'approximation est légèrement inférieure, car chaque « 1 024 ≈ 1 000 » fait perdre 2,4 %, et ce six fois de suite. C'est un bon exercice sur les puissances et la notation scientifique.

Les interrogations les plus fréquentes des élèves

Et si l'on triple au lieu de doubler ?

Avec un triplement, la case n porte 3ⁿ⁻¹ grains, et le total vaut (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. La même méthode (multiplier S par 3, puis soustraire) permet d'arriver au résultat. Le nombre obtenu dépasse 10³⁰.

Au bout de combien de cases dépasse-t-on le million de grains ?

Le total après n cases vaut 2ⁿ − 1. Comme 2¹⁹ = 524 288 et 2²⁰ = 1 048 576, il faut 20 cases pour dépasser un million de grains au total. Il en faut 30 pour dépasser le milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

D'où vient le 2⁶⁴ que l'on rencontre en informatique ?

Parce qu'un nombre codé sur 64 bits peut prendre exactement 2⁶⁴ valeurs différentes. Le plus grand entier positif représentable sur 64 bits sans signe vaut donc 2⁶⁴ − 1 : le même nombre que celui de Sissa.

Pour aller plus loin

L'échiquier recèle d'autres nombres gigantesques. Le nombre de parties d'échecs possibles, estimé par Claude Shannon, rend celui de Sissa bien modeste : voir d'autres très grands nombres de l'échiquier avec le nombre de Shannon. Pour des problèmes plus géométriques, consultez les casse-têtes mathématiques de l'échiquier. Et pour garder l'esprit en éveil entre deux exercices, le Palais des Échecs propose un test de logique mathématique pour s'entraîner.