Das Schachbrett des Sissa: Wie viele Reiskörner? Die Berechnung Schritt für Schritt erklärt

Die Legende wird auf viele Arten erzählt, doch ihr mathematischer Kern bleibt immer derselbe. Ein König möchte den Erfinder des Schachspiels belohnen, einen Weisen, den die Überlieferung Sissa nennt. Dieser verlangt eine Belohnung von scheinbar bescheidenem Umfang: ein Reiskorn auf dem ersten Feld des Schachbretts, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten, und so weiter, wobei sich die Anzahl auf jedem Feld verdoppelt, bis zum 64^. Feld. Der König willigt lachend ein … und entdeckt dann, dass das gesamte Getreide seines Königreichs dafür nicht ausreichen würde.

Die Legende vom Schachbrett des Sissa in wenigen Zeilen

Je nach Fassung ist die Belohnung in Weizen- oder Reiskörnern angegeben, und der König trägt unterschiedliche Namen (etwa Belkib in mehreren französischsprachigen Erzählungen). Die Geschichte ist eine Legende: Sie erklärt nicht die tatsächliche Herkunft des Schachspiels. Der älteste bekannte schriftliche Bericht dieser Erzählung wird dem Historiker Ibn Khallikan zugeschrieben, und zwar aus dem Jahr 1256. Entscheidend ist hier die Rechnung, und sie ist unerbittlich.

Das Problem des Schachbretts des Sissa

Problem, bei dem auf das erste Feld eines Schachbretts 1 Korn gelegt wird und die Anzahl der Körner auf jedem folgenden Feld verdoppelt wird. Das Feld n trägt 2ⁿ⁻¹ Körner, und die Summe über alle 64 Felder beträgt 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner.

Die typische Aufgabe aus der 9. Klasse

In der einen oder anderen Form findet sich diese Aufgabe in vielen Schulheften:

Die Berechnung Schritt für Schritt

1. Körner auf einem bestimmten Feld

Auf dem 1^. Feld liegt 1 Korn, was sich als 2⁰ schreiben lässt. Auf dem 2^. Feld sind es 2 = 2¹. Auf dem 3^. Feld sind es 4 = 2². Auf dem 4^. Feld sind es 8 = 2³. Auf jedem Feld wächst der Exponent um 1, er bleibt aber stets um eins hinter der Feldnummer zurück. Also trägt das Feld mit der Nummer n 2ⁿ⁻¹ Körner: das 10^. Feld trägt 2⁹ = 512, und das 64^. Feld trägt 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Die Gesamtsumme: eine Beobachtung, die alles klärt

Addieren wir die ersten Felder: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Das folgende Feld trägt 32. Die Summe der vorangehenden Felder ist immer das nächste Feld minus 1. Dies überprüfen wir Schritt für Schritt: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1 … Die Summe aller 64 Felder entspricht also dem „65.ⁿ Feld“ minus 1, das heißt 2⁶⁴ − 1.

3. Der Beweis für Fortgeschrittene

Wir setzen S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplizieren wir mit 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Ziehen wir die erste Zeile von der zweiten ab, fallen fast alle Summanden weg, und es bleibt 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Also gilt S = 2⁶⁴ − 1. Dies ist ein Spezialfall der Summe einer geometrischen Reihe mit dem Quotienten 2, die in der Oberstufe behandelt wird.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Man liest: achtzehn Trillionen vierhundertsechsundvierzig Billiarden siebenhundertvierundvierzig Billionen dreiundsiebzig Milliarden siebenhundertneun Millionen fünfhunderteinundfünfzigtausendsechshundertfünfzehn. Ein Taschenrechner der Schule zeigt 2⁶⁴ in der Regel als 1,844674407 × 10¹⁹ an: Er hat nicht genug Stellen, um die Zahl vollständig darzustellen, und kann daher den Unterschied zwischen 2⁶⁴ und 2⁶⁴ − 1 nicht zeigen.

Tabelle Feld für Feld

Zwei Beobachtungen fallen den Schülern besonders auf. Erstens enthält die erste Reihe des Schachbretts (8 Felder) nur 255 Körner: eine kleine Handvoll. Zweitens enthält das letzte Feld allein ein Korn mehr als alle 63 vorangehenden Felder zusammen. Das ist das Kennzeichen exponentiellen Wachstums: Jede Verdopplung wiegt so schwer wie die gesamte Geschichte, die ihr vorausging.

Wie viele Tonnen Reis? Eine Größenordnung

Um von Körnern zu Tonnen zu kommen, braucht man eine Annahme über die Masse eines Korns, die je nach Sorte variiert. Ein Reiskorn wiegt einige hundertstel Gramm: Der Wikipedia-Artikel zum Problem setzt 0,04 g an, und agronomische Messungen an bestimmten Sorten ergeben eher etwas mehr als 0,025 g (rund 26 g pro tausend Körner). Die beiden Annahmen ergeben:

Berechnung: 18.446.744.073.709.551.615 × Masse eines Korns. Vergleich mit einer weltweiten Reisernte von etwa 776 Millionen Tonnen im Jahr 2022 (FAOSTAT-Daten, übernommen von Wikipedia). Mit Weizenkörnern von 65 mg, der Annahme des englischsprachigen Wikipedia-Artikels, überschreitet man 1.199 Milliarden Tonnen.

Anders ausgedrückt: Würde man ohne Pause ein Korn pro Sekunde zählen, bräuchte man etwa 585 Milliarden Jahre, um alle Körner zu zählen, also mehr als das Vierzigfache des geschätzten Alters des Universums.

Die Größenordnung ohne Taschenrechner bestimmen

Ein nützlicher Trick im Unterricht: 2¹⁰ = 1.024, also ungefähr 1.000 = 10³. Nun gilt 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, also ungefähr 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. Der tatsächliche Wert ist 1,84 × 10¹⁹: Die Näherung liegt etwas zu niedrig, denn bei jedem „1.024 ≈ 1.000“ geht ein Fehler von 2,4 % verloren, und das sechsmal hintereinander. Eine gute Übung zu Potenzen und zur wissenschaftlichen Schreibweise.

Fragen, die Schülerinnen und Schüler stellen

Und wenn man nicht verdoppelt, sondern verdreifacht?

Bei einer Verdreifachung trägt das Feld n 3ⁿ⁻¹ Körner, und die Gesamtsumme beträgt (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. Dieselbe Methode (S mit 3 multiplizieren, dann subtrahieren) liefert das Ergebnis. Die so erhaltene Zahl übersteigt 10³⁰.

Wie viele Felder braucht man, um mehr als eine Million Körner zu erreichen?

Die Gesamtsumme nach n Feldern beträgt 2ⁿ − 1. Da 2¹⁹ = 524.288 und 2²⁰ = 1.048.576, braucht man 20 Felder, um insgesamt mehr als eine Million Körner zu erreichen. Und 30 Felder sind nötig, um die Milliarde zu überschreiten (2³⁰ − 1 = 1.073.741.823).

Warum taucht 2⁶⁴ in der Informatik auf?

Weil eine Zahl mit 64 Bit genau 2⁶⁴ verschiedene Werte annehmen kann. Die größte positive ganze Zahl, die sich ohne Vorzeichen mit 64 Bit darstellen lässt, ist daher 2⁶⁴ − 1: dieselbe Zahl wie beim Schachbrett des Sissa.

Weiterführendes

Das Schachbrett verbirgt weitere gewaltige Zahlen. Die von Claude Shannon abgeschätzte Anzahl möglicher Schachpartien lässt die Zahl des Sissa winzig erscheinen: siehe weitere sehr große Zahlen des Schachbretts mit der Shannon-Zahl. Für geometrischere Probleme siehe die mathematischen Denkspiele rund um das Schachbrett. Und um zwischen zwei Übungen den Kopf fit zu halten, bietet das Palais des Échecs einen Test zur mathematischen Logik zum Üben an.