Szachownica Sissy: ile ziaren ryżu? Obliczenie krok po kroku

Legenda jest opowiadana na wiele sposobów, ale jej matematyczna puenta nigdy się nie zmienia. Pewien król chce nagrodzić wynalazcę gry w szachy, mędrca, którego tradycja nazywa Sissą. Ten domaga się nagrody pozornie skromnej: jednego ziarenka na pierwszym polu szachownicy, dwóch na drugim, czterech na trzecim i tak dalej, podwajając liczbę na każdym polu aż do 64^go. Król przystaje na to ze śmiechem… po czym odkrywa, że nie wystarczy na to całe ziarno z jego królestwa.

Legenda o szachownicy Sissy w kilku zdaniach

W zależności od wersji nagrodą jest ziarno pszenicy lub ryżu, a król nosi różne imiona (np. Belkib w wielu francuskojęzycznych opowieściach). To tylko legenda: nie opowiada prawdziwego pochodzenia szachów. Najstarszy znany pisany przekaz tej historii przypisuje się historykowi Ibn Khallikanowi z 1256 roku. Tu liczy się rachunek, a ten jest nieubłagany.

Zagadka szachownicy Sissy

Zadanie polegające na położeniu 1 ziarna na pierwszym polu szachownicy, a następnie podwajaniu liczby ziaren na każdym kolejnym polu. Pole o numerze n zawiera 2ⁿ⁻¹ ziaren, a suma wszystkich 64 pól wynosi 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ziaren.

Typowa treść zadania w 4 klasie

W tej czy innej formie to zadanie pojawia się w wielu zeszytach szkolnych:

Obliczenie krok po kroku

1. Ziarna na danym polu

Na 1^szym polu leży 1 ziarno, co można zapisać jako 2⁰. Na 2^gim jest 2 = 2¹. Na 3^cim jest 4 = 2². Na 4^tym jest 8 = 2³. Na każdym polu wykładnik rośnie o 1, ale zawsze pozostaje o jeden w tyle za numerem pola. Zatem pole o numerze n ma 2ⁿ⁻¹ ziaren: na 10^tym polu jest ich 2⁹ = 512, a na 64^tym jest 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Suma: obserwacja, która wszystko wyjaśnia

Dodajmy ziarna z pierwszych pól: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Na kolejnym polu leży 32. Suma ziaren z poprzednich pól jest zawsze równa liczbie na następnym polu minus 1. Sprawdź to na każdym kroku: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Zatem suma ziaren ze wszystkich 64 pól to „65^te pole” minus 1, czyli 2⁶⁴ − 1.

3. Dowód dla bardziej zaawansowanych

Oznaczmy S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Pomnóżmy przez 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Odejmijmy pierwszy wiersz od drugiego: prawie wszystkie wyrazy się skracają i zostaje 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Zatem S = 2⁶⁴ − 1. To szczególny przypadek sumy ciągu geometrycznego o ilorazie 2, omawianej w klasie pierwszej liceum.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Czytamy: osiemnaście trylionów czterysta czterdzieści sześć biliardów siedemset czterdzieści cztery biliony siedemdziesiąt trzy miliardy siedemset dziewięć milionów pięćset pięćdziesiąt jeden tysięcy sześćset piętnaście. Kalkulator szkolny zwykle wyświetla 2⁶⁴ jako 1,844674407 × 10¹⁹: nie ma wystarczająco dużo cyfr, by zapisać liczbę w całości, więc nie pokaże różnicy między 2⁶⁴ a 2⁶⁴ − 1.

Tabela pole po polu

Dwie uwagi zaskakują uczniów. Po pierwsze, pierwszy rząd szachownicy (8 pól) zawiera tylko 255 ziaren: niewielka garstka. Po drugie, ostatnie pole samo zawiera o jedno ziarno więcej niż wszystkie 63 poprzednie razem wzięte. To znak wzrostu wykładniczego: każde podwojenie waży tyle, co cała historia, która je poprzedza.

Ile ton ryżu? Rząd wielkości

Aby przejść od ziaren do ton, trzeba przyjąć założenie co do masy ziarna, która zależy od odmiany. Ziarno ryżu waży kilka setnych grama: artykuł Wikipedii o tym problemie przyjmuje 0,04 g, a pomiary agronomiczne niektórych odmian dają raczej nieco ponad 0,025 g (około 26 g na tysiąc ziaren). Obie hipotezy dają:

Obliczenie: 18 446 744 073 709 551 615 × masa jednego ziarna. Porównanie z około 776 milionami ton ryżu zebranymi na świecie w 2022 roku (dane FAOSTAT za Wikipedią). Przy ziarnach pszenicy o masie 65 mg, przyjętej w anglojęzycznym artykule Wikipedii, przekraczamy 1 199 miliardów ton.

Inaczej: licząc po jednym ziarnie na sekundę, bez przerwy, zliczenie wszystkich ziaren zajęłoby około 585 miliardów lat, czyli ponad czterdziestokrotność szacowanego wieku Wszechświata.

Rząd wielkości bez kalkulatora

Przydatny trik na lekcji: 2¹⁰ = 1024, czyli około 1000 = 10³. Ponieważ 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, mamy w przybliżeniu 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. Prawdziwa wartość to 1,84 × 10¹⁹: przybliżenie nieco zaniża wynik, bo każde „1024 ≈ 1000” daje błąd 2,4 %, sześciokrotnie z rzędu. To dobre ćwiczenie z potęg i zapisu naukowego.

Pytania, które zadają uczniowie

A co, jeśli nie podwajamy, tylko potrajamy?

Przy potrajaniu pole n zawiera 3ⁿ⁻¹ ziaren, a suma wynosi (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. Ta sama metoda (pomnożyć S przez 3, a potem odjąć) prowadzi do wyniku. Otrzymana liczba przekracza 10³⁰.

Ile pól wystarczy, by przekroczyć milion ziaren?

Suma po n polach wynosi 2ⁿ − 1. Ponieważ 2¹⁹ = 524 288, a 2²⁰ = 1 048 576, potrzeba 20 pól, by w sumie przekroczyć milion ziaren. Miliard przekroczymy po 30 polach (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Dlaczego 2⁶⁴ pojawia się w informatyce?

Ponieważ liczba zapisana na 64 bitach może przyjąć dokładnie 2⁶⁴ różnych wartości. Największa dodatnia liczba całkowita, którą można zapisać na 64 bitach bez znaku, to więc 2⁶⁴ − 1: ta sama liczba co u Sissy.

Aby pójść dalej

Szachownica kryje inne ogromne liczby. Liczba możliwych partii szachowych, oszacowana przez Claude’a Shannona, sprawia, że liczba Sissy wygląda na maleńką: zob. inne bardzo duże liczby szachownicy z liczbą Shannona. Bardziej geometryczne zagadki znajdziesz w matematycznych łamigłówkach szachownicy. A by utrzymać ostrość umysłu między ćwiczeniami, Pałac Szachów proponuje test logiki matematycznej do treningu.