A tábua de xadrez de Sissa: quantos grãos de arroz? O cálculo explicado passo a passo

A lenda é contada de muitas maneiras, mas o seu mecanismo matemático nunca muda. Um rei quer recompensar o inventor do jogo de xadrez, um sábio que a tradição chama Sissa. Este pede uma recompensa de aparência modesta: um grão na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira, e assim por diante, duplicando em cada casa até à 64^.ª. O rei aceita a rir… e depois descobre que todo o grão do reino não chegará para isso.

A lenda da tábua de Sissa em poucas linhas

Conforme as versões, a recompensa é em grãos de trigo ou de arroz, e o rei tem nomes diferentes (Belkib, por exemplo, em vários relatos francófonos). A história é uma lenda: não conta a origem real do jogo de xadrez. O relato escrito mais antigo conhecido desta história é atribuído ao historiador Ibn Khallikan, em 1256. O que importa aqui é o cálculo, e este é implacável.

Problema da tábua de Sissa

Problema que consiste em colocar 1 grão na primeira casa de um tabuleiro e depois duplicar o número de grãos em cada casa seguinte. A casa n tem 2ⁿ⁻¹ grãos, e o total das 64 casas vale 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grãos.

O enunciado típico de um exercício do 9.º ano

Sob uma forma ou outra, eis o exercício que se encontra em muitos cadernos de escola:

O cálculo passo a passo

1. Grãos numa casa dada

Na 1.ª casa, há 1 grão, que se pode escrever 2⁰. Na 2.ª, 2 = 2¹. Na 3.ª, 4 = 2². Na 4.ª, 8 = 2³. Em cada casa, o expoente aumenta 1, mas está sempre um passo atrás do número da casa. Assim, a casa número n tem 2ⁿ⁻¹ grãos: a 10.ª casa tem 2⁹ = 512, e a 64.ª tem 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. O total: uma observação que resolve tudo

Somemos as primeiras casas: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. A casa seguinte tem 32. O total das casas anteriores é sempre a casa seguinte menos 1. Verificamos em cada passo: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Logo, o total das 64 casas é igual à «65.ª casa» menos 1, isto é, 2⁶⁴ − 1.

3. A demonstração, para os mais crescidos

Designemos S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multipliquemos por 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Subtraiamos a primeira linha à segunda: quase todos os termos desaparecem, e resta 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Logo S = 2⁶⁴ − 1. É um caso particular da soma de uma progressão geométrica de razão 2, estudada no 11.º ano.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Lê-se: dezoito quintiliões quatrocentos e quarenta e seis quadriliões setecentos e quarenta e quatro triliões setenta e três biliões setecentos e nove milhões quinhentos e cinquenta e um mil seiscentos e quinze. Uma calculadora escolar mostra em geral 2⁶⁴ sob a forma 1,844674407 × 10¹⁹: não tem algarismos suficientes para o escrever por extenso, e por isso não consegue mostrar a diferença entre 2⁶⁴ e 2⁶⁴ − 1.

Tabela casa a casa

Duas observações impressionam os alunos. Primeiro, a primeira fila do tabuleiro (8 casas) contém apenas 255 grãos: um punhado pequeno. Depois, a última casa tem sozinha mais um grão do que as 63 casas anteriores juntas. É a marca de um crescimento exponencial: cada duplicação pesa tanto como toda a história que a precede.

Quantas toneladas de arroz? Uma ordem de grandeza

Para passar dos grãos às toneladas, é preciso uma hipótese sobre a massa de um grão, que varia conforme as variedades. Um grão de arroz pesa algumas centésimas de grama: o artigo da Wikipédia dedicado ao problema adota 0,04 g, e medições agronómicas de certas variedades dão antes um pouco mais de 0,025 g (cerca de 26 g por mil grãos). As duas hipóteses dão:

Cálculo: 18 446 744 073 709 551 615 × massa de um grão. Comparação com uma colheita mundial de cerca de 776 milhões de toneladas de arroz em 2022 (dados FAOSTAT retomados pela Wikipédia). Com grãos de trigo de 65 mg, hipótese adotada pelo artigo em inglês da Wikipédia, ultrapassa-se 1 199 mil milhões de toneladas.

Dito de outra forma: contando um grão por segundo, sem nunca parar, seriam necessários cerca de 585 mil milhões de anos para contar todos os grãos, ou seja, mais de quarenta vezes a idade estimada do Universo.

Encontrar a ordem de grandeza sem calculadora

Um truque útil na sala de aula: 2¹⁰ = 1 024, ou seja, quase 1 000 = 10³. Ora 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, logo cerca de 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. O valor real é 1,84 × 10¹⁹: a aproximação subestima um pouco, pois cada «1 024 ≈ 1 000» faz perder 2,4 %, seis vezes seguidas. É um bom exercício sobre potências e sobre a notação científica.

As perguntas que os alunos colocam

E se, em vez de duplicar, triplicarmos?

Com um triplicar, a casa n tem 3ⁿ⁻¹ grãos, e o total vale (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. O mesmo método (multiplicar S por 3, depois subtrair) dá o resultado. O número obtido ultrapassa 10³⁰.

Quantas casas são necessárias para ultrapassar um milhão de grãos?

O total após n casas vale 2ⁿ − 1. Como 2¹⁹ = 524 288 e 2²⁰ = 1 048 576, são necessárias 20 casas para ultrapassar um milhão de grãos no total. E são precisas 30 casas para ultrapassar o mil milhões (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Porque é que 2⁶⁴ aparece em informática?

Porque um número escrito em 64 bits pode tomar exatamente 2⁶⁴ valores diferentes. O maior inteiro positivo codificável em 64 bits sem sinal é, portanto, 2⁶⁴ − 1: o mesmo número que o de Sissa.

Para ir mais longe

O tabuleiro esconde outros números gigantescos. O número de partidas de xadrez possíveis, estimado por Claude Shannon, faz parecer minúsculo o de Sissa: ver outros números muito grandes do xadrez com o número de Shannon. Para problemas mais geométricos, veja os enigmas matemáticos do tabuleiro. E para manter o espírito afiado entre dois exercícios, o Palais des Échecs propõe um teste de lógica matemática para treinar.