En bref
Sur l'échiquier, l'enfant pratique le repérage par coordonnées (chaque case porte une lettre et un chiffre), la géométrie (lignes, colonnes, diagonales), la parité (le fou ne change jamais de couleur), les distances, le calcul de la valeur des pièces et le dénombrement. Ces notions rejoignent les programmes de l'école élémentaire et du collège, ce qui fait des échecs et maths un support tout indiqué pour la classe. En Suisse romande, les enseignants retrouveront ces repères dans le cadre du Plan d'études romand.
Le jeu d'échecs n'est pas un cours de mathématiques déguisé, mais il s'en approche beaucoup. Sans s'en rendre compte, l'enfant qui joue manipule des concepts que le programme de maths exige de maîtriser. Le rôle de l'adulte consiste à mettre ces liens en évidence. Tous les exercices proposés ci-dessous ont été vérifiés.
- Repérage sur quadrillage
- Aptitude à localiser une case d'un quadrillage grâce à deux repères, sa colonne et sa rangée. Sur l'échiquier, les colonnes portent les lettres de a à h et les rangées les chiffres de 1 à 8 : la case e4 se situe à la croisée de la colonne e et de la rangée 4.
Maths et échecs : vue d'ensemble
| Notion | Ce qu'on observe sur l'échiquier | Niveau |
|---|---|---|
| Repérage | Les coordonnées des cases (de a1 à h8) | Cycle 2 |
| Géométrie | Lignes, colonnes, diagonales, symétrie de la position de départ | Cycles 2 et 3 |
| Parité | Le fou demeure sur sa couleur, le cavalier la change à chacun de ses sauts | Cycle 3, collège |
| Distances | Coups du roi : la règle du carré | Cycle 3, collège |
| Calcul | Combien valent les pièces ? Faire le bilan d'un échange | Cycles 2 et 3 |
| Dénombrement | Compter les cases, les carrés et les coups possibles | Cycle 3, collège |
| Puissances | Le grain de blé de Sissa et le nombre de Shannon | Collège (4e) |
Se repérer grâce aux coordonnées
L'échiquier forme un quadrillage de 8 colonnes (de a à h, de gauche à droite pour les Blancs) et de 8 rangées (de 1 à 8, en partant du côté des Blancs). Chaque case reçoit ainsi un nom unique, à la manière d'un point dans un repère : on indique d'abord la colonne, puis la rangée. Le repérage sur quadrillage figure dans les programmes de mathématiques de l'école élémentaire, et c'est l'une des premières séances du programme Class'Échecs.
Exercices. 1) Sur quelle case le roi blanc se trouve-t-il au départ ? 2) Quelle case se situe à la croisée de la colonne d et de la rangée 5 ? 3) Combien de cases la colonne c compte-t-elle ? 4) Combien l'échiquier renferme-t-il de cases blanches ?
Solutions. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32, soit autant que de cases noires.
Lignes, colonnes et diagonales
La tour se déplace le long des lignes et des colonnes, le fou sur les diagonales, la dame sur les deux à la fois. Les enfants découvrent ainsi des familles de droites : les horizontales, les verticales et deux familles de diagonales. Les deux grandes diagonales (a1-h8 et a8-h1) comptent chacune 8 cases ; les plus courtes, dans les coins, n'en comptent qu'une seule.
La position de départ présente aussi une belle symétrie axiale : les pièces blanches et noires se répondent de part et d'autre de la ligne qui sépare les rangées 4 et 5, la dame blanche se tient sur une case blanche (d1), la dame noire sur une case noire (d8).
Exercice. Une dame est placée en d4 sur un échiquier vide. Combien de cases peut-elle contrôler ?
Solution. 27 : la colonne d en compte 7, la rangée 4 en compte 7, la diagonale a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) en compte 7, et la diagonale a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1) en compte 6.
La parité, ou la couleur des cases
Le fou se déplace en diagonale, et toutes les cases d'une même diagonale partagent la même couleur. Un fou parti d'une case noire ne rejoindra donc jamais une case blanche : il s'agit d'un invariant, une propriété qui ne change pas, quel que soit le coup joué. Le cavalier agit différemment : à chaque saut, il change de couleur.
Autre constat amusant : pour relier deux cases noires, un cavalier a toujours besoin d'un nombre pair de sauts. De a1 à h8 (deux cases noires), il lui en faut au minimum 6. Et pour aller de a1 à b2, case voisine en diagonale, il lui faut… 4 sauts, alors qu'elle est juste à côté ! Ce raisonnement fondé sur la couleur des cases est également la clé du célèbre problème de l'échiquier mutilé, présenté sur la page les grands casse-têtes de l'échiquier.
Les distances, entre le roi et la règle du carré
Le roi avance d'une case dans n'importe quelle direction, diagonales comprises. Pour atteindre une case donnée, il lui faut donc autant de coups que le plus grand des deux écarts, en colonnes ou en rangées. De a1 à h8, il lui faut 7 coups (et non 14) ; de b2 à e4, 3 coups. Les mathématiciens nomment cette manière de mesurer la distance « distance de Tchebychev » : sur l'échiquier, les « cercles » autour du roi prennent la forme de carrés.
D'où la règle du carré, bien connue des joueurs : un roi parviendra-t-il à rattraper un pion adverse qui fonce vers la promotion ? On dessine le carré dont un côté relie le pion à sa case de promotion. Si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y entrer au coup suivant, il capture le pion ; dans le cas contraire, le pion se transforme en dame. Attention : un pion qui n'a pas encore quitté sa case de départ peut avancer de deux cases ; il faut alors tracer le carré comme s'il se trouvait déjà une case plus loin.
Exercice. Dans la position ci-dessus, le pion a5 doit effectuer 3 pas pour atteindre a8. Le roi noir peut-il l'arrêter a) si ce sont les Blancs qui jouent ? b) si ce sont les Noirs ?
Réponses. a) Non : après a6, le carré du pion va de a6 à c8, et le roi noir ne peut pas y pénétrer (après Rd5, a7 ; Rc6, a8=D, le roi est trop éloigné). b) Oui : Rd5 entre dans le carré a5-d8 ; puis a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
Le calcul, ou la valeur des pièces
On attribue traditionnellement une valeur aux pièces : pion 1, cavalier 3, fou 3, tour 5, dame 9 (le roi, lui, n'a pas de prix). Claude Shannon reprend d'ailleurs ce barème dans son article de 1950 consacré à la programmation des échecs. Ces valeurs servent à établir des bilans.
Exercices. 1) Quelle est la valeur totale des pièces d'un camp au début de la partie, sans compter le roi ? 2) Les Blancs sacrifient une tour et capturent un fou et un pion. Ont-ils gagné ou perdu au change ?
Réponses. 1) 8 pions (8) + 2 cavaliers (6) + 2 fous (6) + 2 tours (10) + 1 dame (9) = 39. 2) Ils cèdent 5 et reçoivent 3 + 1 = 4 : ils ont perdu 1 point.
Le dénombrement : de combien de cases disposent les échiquiers ?
Un échiquier compte 8 × 8 = 64 cases, dont 32 blanches et 32 noires. Mais si l'on compte tous les carrés qu'il est possible d'y dessiner, de toutes tailles, on en trouve 204 : c'est la somme 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. Le détail du calcul figure sur la page consacrée aux casse-têtes de l'échiquier.
Les puissances, ou quand l'échiquier devient gigantesque
Au collège, l'échiquier devient un terrain d'étude pour les puissances et l'écriture scientifique. Les deux exercices classiques sont la légende de Sissa, qui conduit à 264 − 1 grains, et le nombre de Shannon, environ 10120 parties possibles. Les académies publient régulièrement des fiches sur la légende du jeu d'échecs pour la classe de 4e. Vous trouverez des corrigés détaillés sur nos pages l'échiquier de Sissa et le nombre de Shannon.
Quels jeux poursuivre pour aller plus loin ?
Les échecs ne sont pas les seuls à entraîner la logique. Les dames, le go ou de nombreux jeux de société récents sollicitent eux aussi l'anticipation et le raisonnement. Le Palais des Échecs en propose une sélection : d'autres jeux de société qui développent la logique. Pour organiser une séquence complète en classe autour de ces notions, consultez comment monter un projet pédagogique autour des échecs.
Questions fréquentes
Quels concepts mathématiques l'échiquier permet-il de travailler ?
On y travaille le repérage grâce aux coordonnées, la géométrie avec les lignes, les colonnes, les diagonales et la symétrie, la parité (la couleur des cases), les distances, le calcul basé sur la valeur des pièces, le dénombrement et, au collège, les puissances.
Combien compte-t-on de cases sur un échiquier ?
Il y en a 64, disposées sur 8 colonnes et 8 rangées, avec 32 cases blanches et 32 cases noires. Si l'on dénombre tous les carrés, quelle que soit leur taille, on arrive à 204.
En quoi consiste la règle du carré aux échecs ?
Il s'agit d'un moyen de vérifier si un roi parvient à capturer un pion adverse. On dessine le carré reliant le pion à la case où il sera promu : si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y pénétrer dès son prochain coup, il attrape le pion.
Pourquoi le fou garde-t-il toujours la même couleur de case ?
Parce qu'il évolue uniquement en diagonale, et que chaque case d'une diagonale possède la même couleur. Un fou posé sur une case noire ne quittera donc jamais les cases noires au cours de la partie.