Skakbrættet i Sissa: hvor mange riskorn? Beregningen forklaret trin for trin

Legenden fortælles på mange måder, men den matematiske pointe ændrer sig aldrig. En konge ønsker at belønne opfinderen af skakspillet, en vismand som traditionen kalder Sissa. Han beder om en tilsyneladende beskeden belønning: ét korn på første felt, to på andet, fire på tredje, og så fremdeles, med fordobling for hvert felt indtil det 64.^e. Kongen accepterer og ler … og opdager så, at hele kongerigets korn ikke er nok.

Legenden om Sissas skakbræt i få linjer

Afhængigt af versionen er belønningen i hvedekorn eller riskorn, og kongen har forskellige navne (for eksempel Belkib i flere fransksprogede fortællinger). Historien er en legende: den fortæller ikke, hvordan skakspillet faktisk opstod. Den ældste kendte skriftlige version tilskrives historikeren Ibn Khallikan i 1256. Det vigtige her er regnestykket, og det er ubarmhjertigt.

Sissas skakbrætsproblem

Problem, hvor man lægger 1 korn på første felt af et skakbræt og derefter fordobler antallet på hvert følgende felt. Felt nr. n indeholder 2ⁿ⁻¹ korn, og den samlede mængde på de 64 felter er 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 korn.

Typisk opgave i 4. klasse

I den ene eller anden form finder man denne opgave i mange skolebøger:

Beregningen trin for trin

1. Korn på et bestemt felt

På 1.^e felt er der 1 korn, som kan skrives 2⁰. På 2.^e felt er der 2 = 2¹. På 3.^e felt er der 4 = 2². På 4.^e felt er der 8 = 2³. For hvert felt stiger eksponenten med 1, men den halter altid et trin efter feltnummeret. Altså indeholder felt nummer n 2ⁿ⁻¹ korn: 10.^e felt indeholder 2⁹ = 512, og 64.^e felt indeholder 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Totalen: en observation, der løser alt

Lad os lægge de første felter sammen: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Næste felt indeholder 32. Summen af de foregående felter er altid det næste felts antal minus 1. Det kan kontrolleres trin for trin: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1 … Summen af de 64 felter er altså det «65.^e felt» minus 1, altså 2⁶⁴ − 1.

3. Beviset for de ældre elever

Lad S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Ganger vi med 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Trækker vi den første linje fra den anden, forsvinder næsten alle led, og tilbage står 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Altså S = 2⁶⁴ − 1. Det er et specialtilfælde af summen af en geometrisk række med kvotient 2, som behandles i 1. g.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Man læser: atten kvadrillioner fire hundrede seksogfyrre billiarder syv hundrede fireogfyrre billioner treoghalvfjerds milliarder syv hundrede ni millioner fem hundrede enoghalvtreds tusind seks hundrede og femten. En almindelig lommeregner viser typisk 2⁶⁴ som 1,844674407 × 10¹⁹: den har ikke nok cifre til at skrive tallet helt ud, og den kan derfor ikke vise forskellen mellem 2⁶⁴ og 2⁶⁴ − 1.

Tabel felt for felt

To pointer slår eleverne. For det første indeholder den første række af skakbrættet (8 felter) kun 255 korn: en lille håndfuld. For det andet indeholder det sidste felt alene ét korn mere end de 63 foregående felter tilsammen. Det er kendetegnet ved eksponentiel vækst: hver fordobling vejer lige så meget som hele den historie, der går forud for den.

Hvor mange tons ris? Et størrelsesberegning

For at gå fra korn til tons skal man have en antagelse om et kornets vægt, som varierer efter sort. Et riskorn vejer nogle hundrededele af et gram: artiklen om problemet på Wikipedia anvender 0,04 g, mens agronomiske målinger på visse sorter snarere giver lidt over 0,025 g (cirka 26 g per tusind korn). De to antagelser giver:

Beregning: 18 446 744 073 709 551 615 × vægt af et korn. Sammenlignet med en verdensproduktion af ris på cirka 776 millioner tons i 2022 (FAOSTAT-data gengivet af Wikipedia). Med hvedekorn på 65 mg, som den engelsksprogede artikel på Wikipedia anvender, overstiger man 1.199 mia. tons.

Sagt på en anden måde: hvis man tæller ét korn i sekundet uden nogensinde at stoppe, ville det tage cirka 585 milliarder år at tælle alle kornene, altså mere end fyrre gange universets estimerede alder.

Find størrelsesordenen uden lommeregner

Et nyttigt trick i klassen: 2¹⁰ = 1 024, altså cirka 1 000 = 10³. Og 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, altså cirka 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. Den rigtige værdi er 1,84 × 10¹⁹: tilnærmelsen undervurderer lidt, fordi hver «1 024 ≈ 1 000» giver et tab på 2,4 %, seks gange i træk. Det er en god øvelse i potenser og videnskabelig notation.

Spørgsmål eleverne stiller

Hvad hvis man ikke fordobler, men tredobler?

Ved tredobling indeholder felt nr. n 3ⁿ⁻¹ korn, og totalen er (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. Samme metode (gang S med 3 og træk fra) giver resultatet. Tallet overstiger 10³⁰.

Hvor mange felter skal der til, før man overstiger en million korn?

Totalen efter n felter er 2ⁿ − 1. Da 2¹⁹ = 524 288 og 2²⁰ = 1 048 576, skal der 20 felter til at overstige en million korn i alt. Og der skal 30 felter til at overstige en milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Hvorfor optræder 2⁶⁴ i informatik?

Fordi et tal skrevet med 64 bit kan antage præcis 2⁶⁴ forskellige værdier. Det største positive heltal, der kan kodes med 64 bit uden fortegn, er derfor 2⁶⁴ − 1: det samme tal som Sissas.

Læs mere

Skakbrættet gemmer på flere gigantiske tal. Antallet af mulige skakpartier, anslået af Claude Shannon, får Sissas tal til at virke lille: se andre meget store tal fra skakbrættet med Shannon-tallet. Til mere geometriske problemer kan du besøge de matematiske hjernetræningsopgaver på skakbrættet. Og for at holde skarpheden mellem to øvelser tilbyder Le Palais des Échecs en test i matematisk logik til træning.