L'échiquier de Sissa : combien de grains de riz ? Le calcul expliqué pas à pas

La légende est racontée de bien des façons, mais son ressort mathématique ne change jamais. Un roi veut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs, un sage que la tradition nomme Sissa. Celui-ci réclame une récompense d'apparence modeste : un grain sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case jusqu'à la 64^e. Le roi accepte en riant… puis découvre que tout le grain du royaume n'y suffira pas.

La légende de l'échiquier de Sissa en quelques lignes

Selon les versions, la récompense est en grains de blé ou en grains de riz, et le roi porte des noms différents (Belkib, par exemple, dans plusieurs récits francophones). L'histoire est une légende : elle ne raconte pas l'origine réelle du jeu d'échecs. Le plus ancien récit écrit connu de cette histoire est attribué à l'historien Ibn Khallikan, en 1256. Ce qui compte ici, c'est le calcul, et il est implacable.

Problème de l'échiquier de Sissa

Problème qui consiste à placer 1 grain sur la première case d'un échiquier, puis à doubler le nombre de grains sur chaque case suivante. La case n porte 2ⁿ⁻¹ grains, et le total des 64 cases vaut 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.

L'énoncé type d'un exercice de 4e

Sous une forme ou une autre, voici l'exercice que l'on retrouve dans de nombreux cahiers de collège :

Le calcul pas à pas

1. Grains sur une case donnée

Sur la 1^re case, il y a 1 grain, que l'on peut écrire 2⁰. Sur la 2^e, 2 = 2¹. Sur la 3^e, 4 = 2². Sur la 4^e, 8 = 2³. À chaque case, l'exposant augmente de 1, mais il a toujours un de retard sur le numéro de la case. Donc la case numéro n porte 2ⁿ⁻¹ grains : la 10^e case en porte 2⁹ = 512, et la 64^e en porte 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Le total : une observation qui fait tout

Additionnons les premières cases : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. La case suivante en porte 32. Le total des cases précédentes vaut toujours la case suivante moins 1. On le vérifie à chaque étape : 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Le total des 64 cases vaut donc la « 65^e case » moins 1, c'est-à-dire 2⁶⁴ − 1.

3. La démonstration, pour les plus grands

Notons S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplions par 2 : 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Soustrayons la première ligne de la seconde : presque tous les termes disparaissent, et il reste 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Donc S = 2⁶⁴ − 1. C'est un cas particulier de la somme d'une suite géométrique de raison 2, étudiée en classe de première.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

On lit : dix-huit trillions quatre cent quarante-six billiards sept cent quarante-quatre billions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cent quinze. Une calculatrice de collège affiche en général 2⁶⁴ sous la forme 1,844674407 × 10¹⁹ : elle n'a pas assez de chiffres pour l'écrire en entier, et elle ne peut donc pas montrer la différence entre 2⁶⁴ et 2⁶⁴ − 1.

Tableau case par case

Deux remarques frappent les élèves. D'abord, la première rangée de l'échiquier (8 cases) ne contient que 255 grains : une petite poignée. Ensuite, la dernière case contient à elle seule un grain de plus que les 63 cases précédentes réunies. C'est la marque d'une croissance exponentielle : chaque doublement pèse autant que toute l'histoire qui le précède.

Combien de tonnes de riz ? Un ordre de grandeur

Pour passer des grains aux tonnes, il faut une hypothèse sur la masse d'un grain, qui varie selon les variétés. Un grain de riz pèse quelques centièmes de gramme : l'article de Wikipédia consacré au problème retient 0,04 g, et des mesures agronomiques sur certaines variétés donnent plutôt un peu plus de 0,025 g (environ 26 g pour mille grains). Les deux hypothèses donnent :

Calcul : 18 446 744 073 709 551 615 × masse d'un grain. Comparaison avec une récolte mondiale d'environ 776 millions de tonnes de riz en 2022 (données FAOSTAT reprises par Wikipédia). Avec des grains de blé de 65 mg, hypothèse retenue par l'article anglophone de Wikipédia, on dépasse 1 199 milliards de tonnes.

Autre façon de le dire : en comptant un grain par seconde, sans jamais s'arrêter, il faudrait environ 585 milliards d'années pour compter tous les grains, soit plus de quarante fois l'âge estimé de l'Univers.

Retrouver l'ordre de grandeur sans calculatrice

Une astuce utile en classe : 2¹⁰ = 1 024, soit à peu près 1 000 = 10³. Or 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, donc environ 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. La vraie valeur est 1,84 × 10¹⁹ : l'approximation sous-estime un peu, car chaque « 1 024 ≈ 1 000 » fait perdre 2,4 %, six fois de suite. C'est un bon exercice sur les puissances et sur la notation scientifique.

Les questions que posent les élèves

Et si on ne double pas, mais on triple ?

Avec un triplement, la case n porte 3ⁿ⁻¹ grains, et le total vaut (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. La même méthode (multiplier S par 3, puis soustraire) donne le résultat. Le nombre obtenu dépasse 10³⁰.

Combien de cases faut-il pour dépasser un million de grains ?

Le total après n cases vaut 2ⁿ − 1. Comme 2¹⁹ = 524 288 et 2²⁰ = 1 048 576, il faut 20 cases pour dépasser un million de grains au total. Et il faut 30 cases pour dépasser le milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Pourquoi 2⁶⁴ revient-il en informatique ?

Parce qu'un nombre écrit sur 64 bits peut prendre exactement 2⁶⁴ valeurs différentes. Le plus grand entier positif codable sur 64 bits sans signe est donc 2⁶⁴ − 1 : le même nombre que celui de Sissa.

Pour aller plus loin

L'échiquier cache d'autres nombres gigantesques. Le nombre de parties d'échecs possibles, estimé par Claude Shannon, fait passer celui de Sissa pour minuscule : voir d'autres très grands nombres de l'échiquier avec le nombre de Shannon. Pour des problèmes plus géométriques, rendez-vous sur les casse-têtes mathématiques de l'échiquier. Et pour garder l'esprit affûté entre deux exercices, le Palais des Échecs propose un test de logique mathématique pour s'entraîner.