Le problème de l'échiquier de Sissa : combien de grains de riz ? Calcul détaillé étape par étape

Cette légende circule sous bien des versions, mais son mécanisme mathématique reste identique. Un souverain souhaite récompenser l'inventeur du jeu d'échecs, un sage appelé Sissa dans la tradition. Ce dernier demande une récompense en apparence modeste : un grain sur la première case, deux sur la seconde, quatre sur la troisième, et ainsi de suite jusqu'à la 64^e. Le roi accepte, amusé, avant de se rendre compte que la totalité du grain de son royaume ne suffirait pas.

Résumé de la légende de l'échiquier de Sissa

Selon les récits, la récompense porte sur du blé ou du riz, et le souverain prend différents noms (Belkib, par exemple, dans plusieurs versions francophones). Il s'agit d'une légende : elle n'explique pas l'origine véritable du jeu d'échecs. Le plus ancien récit écrit connu est attribué à l'historien Ibn Khallikan, en 1256. Ce qui importe ici, c'est le calcul, et son résultat est sans appel.

Le problème de l'échiquier de Sissa

Problème consistant à déposer 1 grain sur la première case d'un échiquier, puis à multiplier par deux le nombre de grains pour chaque case suivante. La case n en reçoit 2ⁿ⁻¹, et l'ensemble des 64 cases totalise 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.

L'énoncé classique en 4e

Sous une forme ou une autre, voici l'exercice qu'on rencontre dans beaucoup de cahiers de collège :

Le calcul étape par étape

1. Nombre de grains sur une case donnée

La 1^re case reçoit 1 grain, soit 2⁰. La 2^e en reçoit 2 = 2¹, la 3^e en reçoit 4 = 2², la 4^e en reçoit 8 = 2³. D'une case à la suivante, l'exposant gagne 1, mais reste toujours en retrait d'une unité par rapport au numéro de la case. Ainsi, la case numéro n contient 2ⁿ⁻¹ grains : la 10^e en contient 2⁹ = 512, et la 64^e en contient 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Le total : une observation qui résout tout

Additionnons les premières cases : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. La case suivante en reçoit 32. Le cumul des cases précédentes correspond toujours à la case suivante diminuée de 1. On le vérifie à chaque étape : 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Pour les 64 cases, le total équivaut donc à la « 65^e case » moins 1, soit 2⁶⁴ − 1.

3. La démonstration, pour les plus avancés

Posons S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplions par 2 : 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Retranchons la première ligne de la seconde : presque tous les termes s'annulent, et il reste 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Donc S = 2⁶⁴ − 1. Il s'agit d'un cas particulier de la somme d'une suite géométrique de raison 2, vue en classe de première.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

On lit : dix-huit trillions quatre cent quarante-six billiards sept cent quarante-quatre billions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cent quinze. Une calculatrice de collège affiche en général 2⁶⁴ sous la forme 1,844674407 × 10¹⁹ : elle n'a pas assez de chiffres pour l'écrire en entier, et ne peut donc pas faire apparaître l'écart entre 2⁶⁴ et 2⁶⁴ − 1.

Tableau case par case

Deux constats frappent les élèves. D'abord, la première rangée de l'échiquier (8 cases) ne totalise que 255 grains : une poignée à peine. Ensuite, la dernière case seule contient un grain de plus que les 63 cases précédentes réunies. C'est la signature d'une croissance exponentielle : chaque doublement pèse autant que tout ce qui le précède.

Quel est le poids total en tonnes ? Une estimation de l'ordre de grandeur

Pour convertir les grains en tonnes, il faut poser une hypothèse sur la masse d'un grain, qui varie selon les variétés. Un grain de riz pèse quelques centièmes de gramme : l'article de Wikipédia consacré au problème retient 0,04 g, tandis que des mesures agronomiques sur certaines variétés donnent plutôt un peu plus de 0,025 g (environ 26 g pour mille grains). Les deux hypothèses conduisent aux résultats suivants :

Le calcul porte sur 18 446 744 073 709 551 615 multiplié par le poids d'un grain. À titre de comparaison, la production mondiale de riz s'élevait à environ 776 millions de tonnes en 2022, selon les chiffres de FAOSTAT repris par Wikipédia. En prenant un grain de blé pesant 65 mg, valeur retenue dans l'article anglophone de Wikipédia, le total dépasse 1 199 milliards de tonnes.

Autrement dit : en comptant un grain par seconde, sans jamais s'interrompre, il faudrait près de 585 milliards d'années pour tout dénombrer, soit plus de quarante fois l'âge estimé de l'Univers.

Estimer l'ordre de grandeur de tête, sans calculatrice

Une astuce utile en classe : 2¹⁰ = 1 024, soit à peu près 1 000 = 10³. Or 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, donc environ 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. La valeur exacte est 1,84 × 10¹⁹ : l'approximation est un peu trop basse, car chaque « 1 024 ≈ 1 000 » fait perdre 2,4 %, et ce six fois de suite. C'est un bon exercice sur les puissances et la notation scientifique.

Ce que demandent souvent les élèves

Et si l'on triple au lieu de doubler ?

Avec un triplement, la case n reçoit 3ⁿ⁻¹ grains, et le total vaut (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. La même méthode (multiplier S par 3, puis soustraire) donne ce résultat. Le nombre obtenu dépasse 10³⁰.

À partir de quelle case dépasse-t-on un million de grains ?

Le total après n cases vaut 2ⁿ − 1. Comme 2¹⁹ = 524 288 et 2²⁰ = 1 048 576, il faut 20 cases pour dépasser un million de grains au total. Il en faut 30 pour dépasser le milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Pourquoi retrouve-t-on 2⁶⁴ en informatique ?

Parce qu'un nombre codé sur 64 bits peut prendre exactement 2⁶⁴ valeurs différentes. Le plus grand entier positif représentable sur 64 bits non signés est donc 2⁶⁴ − 1, soit le même nombre que celui de Sissa.

Pour aller plus loin

L'échiquier recèle d'autres nombres gigantesques. Le nombre de parties d'échecs possibles, estimé par Claude Shannon, rend celui de Sissa minuscule : voir d'autres très grands nombres de l'échiquier avec le nombre de Shannon. Pour des problèmes plus géométriques, consultez les casse-têtes mathématiques de l'échiquier. Et pour garder l'esprit vif entre deux exercices, le Palais des Échecs propose un test de logique mathématique pour s'entraîner.