Das Schachbrett des Sissa: Die Körnerzahl im Detail berechnet, Schritt für Schritt

Die Geschichte existiert in zahlreichen Versionen, aber ihr rechnerischer Kern ist überall gleich. Ein Herrscher will den Urheber des Schachspiels belohnen, einen klugen Mann, den die Tradition Sissa nennt. Er fordert eine Gabe, die auf den ersten Blick recht gering wirkt: ein einziges Reiskorn auf dem ersten Feld des Brettes, danach zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten und so fort, wobei die Menge von Feld zu Feld jeweils auf das Doppelte steigt, bis hin zum 64^. Feld. Der König stimmt amüsiert zu … und erkennt erst später, dass selbst die gesamte Getreideernte seines Reiches dafür nicht genügen würde.

Die Sissa-Legende in wenigen Zeilen

Je nach Fassung besteht der Lohn aus Weizen- oder Reiskörnern, und der Herrscher trägt verschiedene Namen (in mehreren französischsprachigen Erzählungen etwa Belkib). Es handelt sich um eine Legende, die nicht die tatsächliche Entstehung des Schachspiels erklärt. Der älteste bekannte schriftliche Bericht wird dem Historiker Ibn Khallikan zugeschrieben und stammt aus dem Jahr 1256. Maßgeblich ist hier vor allem die Rechnung, und die ist gnadenlos.

Das Rätsel des Sissa-Schachbretts

Aufgabe: Auf das erste Feld eines Schachbretts kommt 1 Korn, und auf jedem weiteren Feld verdoppelt sich die Anzahl. Feld n enthält 2ⁿ⁻¹ Körner, und die Summe über alle 64 Felder beläuft sich auf 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner.

Die klassische Aufgabe aus der 9. Schulstufe

In der einen oder anderen Form taucht diese Aufgabe in vielen Schulheften auf:

Die Rechnung Schritt für Schritt

1. Die Körner auf einem einzelnen Feld

Das 1^. Feld enthält ein Korn, und das lässt sich als 2⁰ darstellen. Das 2^. Feld trägt zwei Körner, also 2¹. Auf dem 3^. Feld liegen vier, somit 2², und auf dem 4^. Feld acht, also 2³. Der Exponent erhöht sich zwar von Feld zu Feld um eins, hinkt der Feldnummer jedoch stets um eine Stelle hinterher. Folglich enthält das Feld mit der Nummer n genau 2ⁿ⁻¹ Körner: Auf dem 10^. Feld sind es 2⁹ = 512, auf dem 64^. Feld hingegen 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Gesamtsumme: Eine Beobachtung, die alles entschlüsselt

Wenn wir die Körner der ersten Felder zusammenzählen, ergibt sich 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, und auf dem nächsten Feld liegen 32. Stets gilt: Die Summe aller vorherigen Felder entspricht dem nächsten Feld abzüglich 1. Das prüfen wir der Reihe nach nach: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1 … Folglich ergibt die Addition aller 64 Felder das „65.ⁿ Feld“ abzüglich 1, also 2⁶⁴ − 1.

3. Ein Nachweis für Fortgeschrittene

Wir setzen S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³ an. Multiplizieren wir beide Seiten mit 2, erhalten wir 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Subtrahiert man die erste Zeile von der zweiten, heben sich nahezu alle Summanden auf, und übrig bleibt 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Also gilt S = 2⁶⁴ − 1. Das ist ein Sonderfall der Summe einer geometrischen Reihe mit dem Faktor 2, wie sie in der Oberstufe behandelt wird.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Gesprochen lautet die Zahl: achtzehn Trillionen vierhundertsechsundvierzig Billiarden siebenhundertvierundvierzig Billionen dreiundsiebzig Milliarden siebenhundertneun Millionen fünfhunderteinundfünfzigtausendsechshundertfünfzehn. Ein Schultaschenrechner zeigt 2⁶⁴ meist als 1,844674407 × 10¹⁹ an: Ihm fehlen die Stellen, um die Zahl vollständig wiederzugeben, weshalb er den Unterschied zwischen 2⁶⁴ und 2⁶⁴ − 1 nicht sichtbar machen kann.

Tabelle Schritt für Schritt

Zwei Beobachtungen fallen Schülerinnen und Schülern besonders auf. Erstens enthält die erste Reihe des Schachbretts (8 Felder) lediglich 255 Körner, also eine kleine Handvoll. Zweitens bringt das letzte Feld allein ein Korn mehr als alle 63 vorherigen Felder zusammen. Genau darin zeigt sich exponentielles Wachstum: Jede Verdopplung wiegt so viel wie die gesamte Vorgeschichte.

Wie viele Tonnen Reis wären das? Eine grobe Schätzung

Um von Körnern auf Tonnen zu kommen, braucht man eine Annahme über das Gewicht eines Korns, das je nach Sorte schwankt. Ein Reiskorn wiegt einige Hundertstelgramm: Der Wikipedia-Artikel zum Problem setzt 0,04 g an, während agronomische Messungen an bestimmten Sorten eher knapp über 0,025 g liegen (etwa 26 g pro tausend Körner). Mit diesen beiden Annahmen ergibt sich:

Rechnung: 18.446.744.073.709.551.615 × Gewicht eines Korns. Zum Vergleich: Die weltweite Reisernte lag 2022 bei etwa 776 Millionen Tonnen (FAOSTAT-Daten, übernommen von Wikipedia). Mit Weizenkörnern von 65 mg, der Annahme des englischsprachigen Wikipedia-Artikels, werden sogar mehr als 1.199 Milliarden Tonnen erreicht.

Anders gesagt: Würde man ohne Pause ein Korn pro Sekunde zählen, bräuchte man rund 585 Milliarden Jahre, also mehr als das Vierzigfache des geschätzten Alters des Universums.

Die Größenordnung im Kopf abschätzen

Ein nützlicher Kniff für den Unterricht: 2¹⁰ = 1.024, also ungefähr 1.000 = 10³. Damit gilt 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, also näherungsweise 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. Der exakte Wert ist 1,84 × 10¹⁹: Die Näherung fällt etwas zu niedrig aus, weil bei jedem Schritt „1.024 ≈ 1.000“ ein Fehler von 2,4 % entsteht, und das sechsmal hintereinander. Eine gute Übung zu Potenzen und zur wissenschaftlichen Schreibweise.

Was Schülerinnen und Schüler häufig fragen

Was passiert, wenn man nicht verdoppelt, sondern verdreifacht?

Bei einer Verdreifachung enthält Feld n 3ⁿ⁻¹ Körner, und die Gesamtsumme beträgt (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. Dieselbe Methode (S mit 3 multiplizieren und dann subtrahieren) führt zum Ergebnis. Die so erhaltene Zahl übersteigt 10³⁰.

Ab welchem Feld überschreitet man eine Million Körner?

Die Gesamtsumme nach n Feldern beträgt 2ⁿ − 1. Da 2¹⁹ = 524.288 und 2²⁰ = 1.048.576 ist, benötigt man 20 Felder, um insgesamt mehr als eine Million Körner zu erreichen. Für eine Milliarde sind 30 Felder nötig (2³⁰ − 1 = 1.073.741.823).

Weshalb taucht 2⁶⁴ in der Informatik auf?

Weil eine 64-Bit-Zahl genau 2⁶⁴ verschiedene Werte annehmen kann. Die größte positive ganze Zahl, die sich ohne Vorzeichen mit 64 Bit darstellen lässt, ist daher 2⁶⁴ − 1: dieselbe Zahl wie beim Sissa-Schachbrett.

Weiterführende Themen

Das Schachbrett birgt noch weitere gewaltige Zahlen. Die von Claude Shannon abgeschätzte Anzahl möglicher Schachpartien lässt die Sissa-Zahl winzig erscheinen: siehe weitere sehr große Zahlen des Schachbretts mit der Shannon-Zahl. Für geometrischere Aufgaben lohnen sich die mathematischen Denkspiele rund um das Schachbrett. Und wer zwischen zwei Übungen den Kopf auf Trab halten möchte, findet im Palais des Échecs einen Übungstest zur mathematischen Logik, der übrigens aus Frankreich stammt und online frei zugänglich ist.