De schaakbordlegende van Sissa: hoeveel rijstkorrels? De berekening stap voor stap uitgelegd

De legende wordt op veel manieren verteld, maar de wiskundige kern verandert nooit. Een koning wil de uitvinder van het schaakspel belonen, een wijze man die de traditie Sissa noemt. Deze vraagt een beloning die bescheiden lijkt: één graankorrel op het eerste veld van het schaakbord, twee op het tweede, vier op het derde, en zo verder door op elk veld te verdubbelen tot het 64^e veld. De koning gaat er lachend mee akkoord… maar ontdekt dan dat al het graan van het koninkrijk niet genoeg zal zijn.

De legende van het schaakbord van Sissa in een paar regels

Naargelang de versie gaat het om tarwe- of rijstkorrels, en de koning heeft verschillende namen (bijvoorbeeld Belkib in meerdere Franstalige verhalen). Het verhaal is een legende: het vertelt niet de werkelijke oorsprong van het schaakspel. Het oudste bekende geschreven verslag wordt toegeschreven aan de historicus Ibn Khallikan, in 1256. Wat hier telt is de berekening, en die is genadeloos.

Probleem van het schaakbord van Sissa

Probleem waarbij 1 korrel op het eerste veld van een schaakbord wordt gelegd en het aantal korrels op elk volgend veld wordt verdubbeld. Veld n bevat 2ⁿ⁻¹ korrels, en het totaal van de 64 velden is 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 korrels.

De typische opgave voor de 4e klas

In de een of andere vorm vind je deze oefening in veel schoolschriften:

De berekening stap voor stap

1. Korrels op een bepaald veld

Op het 1^e veld ligt 1 korrel, te schrijven als 2⁰. Op het 2^e veld 2 = 2¹. Op het 3^e veld 4 = 2². Op het 4^e veld 8 = 2³. Op elk veld stijgt de exponent met 1, maar hij blijft steeds één achter op het veldnummer. Dus veld nummer n bevat 2ⁿ⁻¹ korrels: het 10^e veld bevat 2⁹ = 512, en het 64^e bevat 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808.

2. Het totaal: één waarneming die alles verklaart

Laten we de eerste velden optellen: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Het volgende veld bevat er 32. Het totaal van de voorgaande velden is altijd het volgende veld min 1. Dat controleer je bij elke stap: 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Het totaal van de 64 velden is dus het ’65^e veld’ min 1, oftewel 2⁶⁴ − 1.

3. Het bewijs, voor de oudere leerlingen

Noteer S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Vermenigvuldig met 2: 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Trek de eerste regel af van de tweede: bijna alle termen vallen weg, en er blijft 2S − S = 2⁶⁴ − 1 over. Dus S = 2⁶⁴ − 1. Dit is een bijzonder geval van de som van een meetkundige rij met reden 2, die in de eerste graad van het secundair aan bod komt.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Je leest: achttien triljoen vierhonderdzesenveertig biljard zevenhonderdvierenveertig biljoen drieënzeventig miljard zevenhonderdnegen miljoen vijfhonderdeenenvijftigduizend zeshonderdvijftien. Een gewone rekenmachine toont 2⁶⁴ meestal als 1,844674407 × 10¹⁹: ze heeft niet genoeg cijfers om het volledige getal weer te geven, en kan dus het verschil tussen 2⁶⁴ en 2⁶⁴ − 1 niet tonen.

Tabel per veld

Twee opmerkingen vallen leerlingen op. Ten eerste bevat de eerste rij van het bord (8 velden) slechts 255 korrels: een klein handje. Ten tweede bevat het laatste veld alleen al één korrel meer dan de 63 voorgaande velden samen. Dat is het kenmerk van exponentiële groei: elke verdubbeling weegt even zwaar als alles wat er aan voorafging.

Hoeveel ton rijst? Een orde van grootte

Om van korrels naar ton te gaan, heb je een aanname nodig over de massa van een korrel, die per variëteit verschilt. Een rijstkorrel weegt enkele honderdsten van een gram: het Wikipedia-artikel over het probleem gebruikt 0,04 g, en landbouwmetingen op bepaalde variëteiten geven eerder iets meer dan 0,025 g (ongeveer 26 g per duizend korrels). Beide aannames geven:

Berekening: 18.446.744.073.709.551.615 × massa van een korrel. Vergelijking met een wereldoogst van ongeveer 776 miljoen ton rijst in 2022 (FAOSTAT-gegevens, overgenomen door Wikipedia). Met tarwekorrels van 65 mg, de aanname van het Engelstalige Wikipedia-artikel, komt men boven 1.199 miljard ton.

Anders gezegd: als je zonder ophouden één korrel per seconde telt, zou je ongeveer 585 miljard jaar nodig hebben om alle korrels te tellen, meer dan veertig keer de geschatte leeftijd van het heelal.

De orde van grootte vinden zonder rekenmachine

Een handige truc in de klas: 2¹⁰ = 1.024, dus ongeveer 1.000 = 10³. Nu is 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, dus ongeveer 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. De werkelijke waarde is 1,84 × 10¹⁹: de benadering onderschat een beetje, want elke ‘1.024 ≈ 1.000’ verliest 2,4 %, zes keer achter elkaar. Een goede oefening over machten en wetenschappelijke notatie.

De vragen van de leerlingen

En als we niet verdubbelen maar verdrievoudigen?

Bij verdrievoudigen bevat veld n 3ⁿ⁻¹ korrels, en het totaal is (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. Dezelfde methode (S met 3 vermenigvuldigen, dan aftrekken) geeft het resultaat. Het bekomen getal overschrijdt 10³⁰.

Hoeveel velden zijn er nodig om meer dan een miljoen korrels te hebben?

Het totaal na n velden is 2ⁿ − 1. Aangezien 2¹⁹ = 524.288 en 2²⁰ = 1.048.576, zijn er 20 velden nodig om in totaal meer dan een miljoen korrels te hebben. En om het miljard te overschrijden zijn er 30 velden nodig (2³⁰ − 1 = 1.073.741.823).

Waarom komt 2⁶⁴ voor in de informatica?

Omdat een getal op 64 bits precies 2⁶⁴ verschillende waarden kan aannemen. Het grootste positieve geheel getal dat zonder teken op 64 bits kan worden opgeslagen is dus 2⁶⁴ − 1: hetzelfde getal als dat van Sissa.

Verder lezen

Het schaakbord verbergt nog andere reusachtige getallen. Het aantal mogelijke schaakpartijen, geschat door Claude Shannon, laat dat van Sissa klein lijken: zie andere zeer grote getallen van het schaakbord met het getal van Shannon. Voor meer meetkundige problemen ga je naar de wiskundige breinbrekers van het schaakbord. En om je geest scherp te houden tussen twee oefeningen door, biedt Le Palais des Échecs een wiskundige logicatest om te oefenen.