Le problème de Sissa sur l'échiquier : de combien de grains de riz s'agit-il ? Calcul détaillé étape par étape

Cette légende existe en de nombreuses versions, mais son ressort mathématique reste identique. Un roi souhaite récompenser l'inventeur du jeu d'échecs, un sage que la tradition appelle Sissa. Celui-ci demande une récompense d'apparence modeste : un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu'à la 64^e. Le roi accepte en souriant… avant de constater que tout le grain de son royaume ne suffirait pas.

La légende de Sissa résumée en quelques lignes

Suivant les récits, la récompense porte sur des grains de blé ou de riz, et le roi reçoit des prénoms différents (Belkib, par exemple, dans plusieurs récits en français). Il s'agit d'une légende : elle n'explique pas l'origine réelle du jeu d'échecs. Le plus ancien texte écrit connu de cette histoire est attribué à l'historien Ibn Khallikan, en 1256. Ce qui importe ici, c'est le calcul, et celui-ci ne laisse aucune place au doute.

Problème de Sissa sur l'échiquier

Problème consistant à déposer 1 grain sur la première case d'un échiquier, puis à doubler la quantité sur chaque case suivante. La case n contient 2ⁿ⁻¹ grains, et l'ensemble des 64 cases totalise 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.

Le libellé type d'un exercice de 4e

Sous une forme ou une autre, on retrouve cet exercice dans de nombreux cahiers de collège (en Belgique comme en France) :

Le calcul étape par étape

1. Nombre de grains sur une case précise

La 1^re case reçoit 1 grain, soit 2⁰. La 2^e en reçoit 2 = 2¹, la 3^e en reçoit 4 = 2², la 4^e en reçoit 8 = 2³. À chaque case, l'exposant gagne une unité, mais reste toujours en retard d'une unité sur le numéro de la case. Ainsi la case numéro n contient 2ⁿ⁻¹ grains : la 10^e case en compte 2⁹ = 512, et la 64^e en compte 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Le total : une observation qui résout l'énigme

Additionnons les premières cases : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, tandis que la case suivante en porte 32. Le total des cases précédentes égale toujours la case suivante diminuée de 1. Cela se vérifie à chaque étape : 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Le total des 64 cases vaut donc la « 65^e case » moins 1, soit 2⁶⁴ − 1.

3. La démonstration, à l'attention des élèves les plus avancés

Posons S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplions par 2 : 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Soustrayons la première ligne de la seconde : presque tous les termes s'annulent, et il reste 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Donc S = 2⁶⁴ − 1. Il s'agit d'un cas particulier de la somme d'une suite géométrique de raison 2, étudiée en classe de première.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

On lit : dix-huit trillions quatre cent quarante-six billiards sept cent quarante-quatre billions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cent quinze. Une calculatrice de collège affiche en général 2⁶⁴ sous la forme 1,844674407 × 10¹⁹ : elle ne dispose pas d'assez de chiffres pour l'écrire en entier, et ne permet donc pas de distinguer 2⁶⁴ de 2⁶⁴ − 1.

Tableau case par case

Deux constats frappent les élèves. D'abord, la première rangée de l'échiquier (8 cases) ne compte que 255 grains : une petite poignée. Ensuite, la dernière case contient à elle seule un grain de plus que les 63 cases précédentes réunies. C'est la signature d'une croissance exponentielle : chaque doublement pèse autant que toute l'histoire qui le précède.

Quelle quantité de riz, en tonnes ? Une estimation de l'ordre de grandeur

Pour convertir des grains en tonnes, il faut faire une hypothèse sur la masse d'un grain, qui varie selon les variétés. Un grain de riz pèse quelques centièmes de gramme : l'article de Wikipédia consacré au problème retient 0,04 g, tandis que des mesures agronomiques sur certaines variétés donnent plutôt un peu plus de 0,025 g (environ 26 g pour mille grains). Avec ces deux hypothèses, on obtient :

Le calcul consiste à multiplier 18 446 744 073 709 551 615 par le poids d'un seul grain. On peut comparer le résultat à la récolte mondiale de riz, d'environ 776 millions de tonnes en 2022 (chiffres FAOSTAT, repris sur Wikipédia). En retenant des grains de blé pesant 65 mg, valeur choisie par l'article anglophone de Wikipédia, le total dépasse 1 199 milliards de tonnes, soit bien plus que ce que la planète produit en une année.

Autrement dit : en comptant un grain par seconde, sans jamais s'arrêter, il faudrait environ 585 milliards d'années pour tout dénombrer, soit plus de quarante fois l'âge estimé de l'Univers.

Se faire une idée de l'ordre de grandeur sans calculatrice

Une astuce utile en classe : 2¹⁰ = 1 024, soit à peu près 1 000 = 10³. Or 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, donc environ 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. La valeur exacte est 1,84 × 10¹⁹ : l'approximation est un peu trop basse, car chaque « 1 024 ≈ 1 000 » entraîne une perte de 2,4 %, répétée six fois. C'est un bon exercice sur les puissances et la notation scientifique.

Les questions que se posent les élèves

Et si l'on triple au lieu de doubler ?

Avec un triplement, la case n contient 3ⁿ⁻¹ grains, et le total vaut (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. La même méthode (multiplier S par 3, puis soustraire) permet d'arriver au résultat. Le nombre obtenu dépasse 10³⁰.

Au bout de combien de cases atteint-on le cap du million de grains ?

Le total après n cases vaut 2ⁿ − 1. Comme 2¹⁹ = 524 288 et 2²⁰ = 1 048 576, il faut 20 cases pour dépasser un million de grains au total. Et 30 cases suffisent pour dépasser le milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Pourquoi retrouve-t-on 2⁶⁴ en informatique ?

Parce qu'un nombre codé sur 64 bits peut prendre exactement 2⁶⁴ valeurs différentes. Le plus grand entier positif représentable sur 64 bits sans signe vaut donc 2⁶⁴ − 1 : le même nombre que celui de Sissa.

Pour aller plus loin

L'échiquier recèle d'autres nombres gigantesques. Le nombre de parties d'échecs possibles, estimé par Claude Shannon, rend celui de Sissa dérisoire : voir d'autres très grands nombres de l'échiquier avec le nombre de Shannon. Pour des problèmes plus géométriques, consultez les casse-têtes mathématiques de l'échiquier. Et pour garder l'esprit en éveil entre deux exercices, le Palais des Échecs propose un test de logique mathématique à essayer.