L'échiquier de Sissa : quel nombre de grains de riz ? Le calcul étape par étape

Cette histoire existe sous de nombreuses formes, mais son mécanisme mathématique reste identique. Un souverain souhaite récompenser l'inventeur du jeu d'échecs, un sage appelé Sissa dans la tradition. Ce dernier demande une récompense qui semble modeste : un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu'à la 64^e. Le roi accepte d'abord en souriant, avant de constater que la totalité des grains de son royaume ne suffirait pas.

La légende de l'échiquier de Sissa résumée en quelques lignes

Selon les récits, la récompense porte sur des grains de blé ou de riz, et le souverain reçoit des noms variés (Belkib, par exemple, dans plusieurs textes en français). Il s'agit d'une légende, qui ne décrit pas l'origine véritable du jeu d'échecs. Le plus ancien texte écrit connu de cette histoire est attribué à l'historien Ibn Khallikan, en 1256. Ce qui importe ici, c'est le calcul, et celui-ci ne laisse aucune marge.

Le casse-tête de l'échiquier de Sissa

Il s'agit de disposer 1 grain sur la première case d'un échiquier, puis de doubler la quantité à chaque case suivante. La case de rang n contient 2ⁿ⁻¹ grains, et l'ensemble des 64 cases totalise 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains.

Le texte d'un exercice typique de 4e

Sous une forme ou une autre, on retrouve cet exercice dans de nombreux cahiers de collège, y compris au Luxembourg :

Le calcul étape par étape

1. Nombre de grains sur une case précise

Sur la 1^re case, il y a 1 grain, soit 2⁰. Sur la 2^e, on trouve 2 = 2¹. Sur la 3^e, 4 = 2². Sur la 4^e, 8 = 2³. D'une case à l'autre, l'exposant gagne une unité, tout en restant toujours en retard d'une unité sur le numéro de la case. La case numéro n contient donc 2ⁿ⁻¹ grains : la 10^e case en porte 2⁹ = 512, et la 64^e en porte 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808.

2. Le total : une remarque qui résout presque tout

Additionnons les premières cases : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. La case suivante en contient 32. Le cumul des cases précédentes égale toujours la case suivante diminuée de 1. Vérifions à chaque étape : 1 = 2 − 1, 1 + 2 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 8 − 1… Le total des 64 cases correspond donc à la « 65^e case » moins 1, c'est-à-dire 2⁶⁴ − 1.

3. La démonstration, pour les élèves les plus avancés

Posons S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁶³. Multiplions par 2 : 2S = 2 + 2² + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. En soustrayant la première ligne de la seconde, presque tous les termes s'annulent, et il reste 2S − S = 2⁶⁴ − 1. Ainsi, S = 2⁶⁴ − 1. Il s'agit d'un cas particulier de la somme d'une suite géométrique de raison 2, vue en classe de première.

2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

On lit : dix-huit trillions quatre cent quarante-six billiards sept cent quarante-quatre billions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cent quinze. Une calculatrice de collège affiche généralement 2⁶⁴ sous la forme 1,844674407 × 10¹⁹ : elle ne dispose pas d'assez de chiffres pour l'écrire en entier, et ne peut donc pas faire apparaître l'écart entre 2⁶⁴ et 2⁶⁴ − 1.

Tableau case par case

Deux constats surprennent souvent les élèves. D'abord, la première rangée de l'échiquier (8 cases) ne compte que 255 grains : une petite poignée. Ensuite, la dernière case à elle seule porte un grain de plus que les 63 précédentes réunies. C'est la signature d'une croissance exponentielle : chaque doublement pèse autant que tout ce qui l'a précédé.

Quelle quantité de tonnes de riz ? Une estimation

Pour convertir les grains en tonnes, il faut faire une hypothèse sur la masse d'un grain, qui varie selon les variétés. Un grain de riz pèse quelques centièmes de gramme : l'article de Wikipédia consacré au problème retient 0,04 g, tandis que des mesures agronomiques sur certaines variétés donnent plutôt un peu plus de 0,025 g (soit environ 26 g pour mille grains). Les deux hypothèses conduisent aux résultats suivants :

Le calcul porte sur 18 446 744 073 709 551 615 multiplié par le poids d'un grain. On peut le comparer à la récolte mondiale de riz, d'environ 776 millions de tonnes en 2022 (chiffres FAOSTAT repris par Wikipédia). En prenant des grains de blé pesant 65 mg, valeur retenue par l'article anglophone de Wikipédia, le total dépasse 1 199 milliards de tonnes.

Autrement dit, en comptant un grain par seconde sans jamais interrompre le décompte, il faudrait environ 585 milliards d'années pour tout compter, soit plus de quarante fois l'âge estimé de l'Univers.

Trouver l'ordre de grandeur de tête

Une astuce utile en classe : 2¹⁰ = 1 024, soit à peu près 1 000 = 10³. Or 2⁶⁴ = 2⁴ × (2¹⁰)⁶, donc environ 16 × (10³)⁶ = 16 × 10¹⁸ = 1,6 × 10¹⁹. La valeur exacte est 1,84 × 10¹⁹ : l'approximation est un peu trop basse, car chaque « 1 024 ≈ 1 000 » entraîne une perte de 2,4 %, répétée six fois. C'est un bon exercice sur les puissances et la notation scientifique.

Les questions que se posent les élèves

Et si l'on triple au lieu de doubler ?

Avec un triplement, la case de rang n contient 3ⁿ⁻¹ grains, et le total vaut (3⁶⁴ − 1) ÷ 2. La même méthode (multiplier S par 3, puis soustraire) permet d'aboutir au résultat. Le nombre obtenu dépasse 10³⁰.

À partir de quelle case dépasse-t-on le million de grains ?

Le total après n cases vaut 2ⁿ − 1. Comme 2¹⁹ = 524 288 et 2²⁰ = 1 048 576, il faut 20 cases pour dépasser un million de grains au total. Il en faut 30 pour dépasser le milliard (2³⁰ − 1 = 1 073 741 823).

Pourquoi retrouve-t-on 2⁶⁴ en informatique ?

Parce qu'un nombre codé sur 64 bits peut prendre exactement 2⁶⁴ valeurs différentes. Le plus grand entier positif représentable sur 64 bits non signés vaut donc 2⁶⁴ − 1 : le même nombre que celui de Sissa.

Pour aller plus loin

L'échiquier recèle d'autres nombres gigantesques. Le nombre de parties d'échecs possibles, estimé par Claude Shannon, rend celui de Sissa bien modeste : voir d'autres très grands nombres de l'échiquier avec le nombre de Shannon. Pour des problèmes plus géométriques, consultez les casse-têtes mathématiques de l'échiquier. Et pour garder l'esprit en éveil entre deux exercices, le Palais des Échecs propose un test de logique mathématique pour s'entraîner.