Em resumo
No tabuleiro, uma criança trabalha a localização por coordenadas (cada casa tem uma letra e um número), a geometria (linhas, colunas, diagonais), a paridade (o bispo nunca muda de cor), as distâncias, o cálculo (valor das peças) e a contagem. Estas noções correspondem aos programas do ensino básico e do secundário, o que faz do xadrez e da matemática em jogo um suporte natural para a sala de aula.
O xadrez não é uma lição de matemática disfarçada, mas está muito próximo dela. Uma criança que joga manipula, sem o saber, conceitos que o programa de matemática lhe pede que domine. O papel do adulto é tornar visíveis estas ligações. Todos os exercícios abaixo foram verificados.
- Localização numa quadrícula
- Competência que consiste em designar uma casa de uma quadrícula através de duas informações, a sua coluna e a sua fileira. No tabuleiro, as colunas são designadas de a a h e as fileiras de 1 a 8: a casa e4 está na intersecção da coluna e com a fileira 4.
Xadrez e matemática em jogo: visão geral
| Noção | O que se observa no tabuleiro | Nível |
|---|---|---|
| Localização | As coordenadas das casas (a1 a h8) | Ciclo 2 |
| Geometria | Linhas, colunas, diagonais, simetria da posição inicial | Ciclos 2 e 3 |
| Paridade | O bispo mantém a sua cor, o cavalo muda de cor a cada salto | Ciclo 3, secundário |
| Distâncias | Número de lances do rei, regra do quadrado | Ciclo 3, secundário |
| Cálculo | Valor das peças, balanço das trocas | Ciclos 2 e 3 |
| Contagem | Casas, quadrados, lances possíveis | Ciclo 3, secundário |
| Potências | Tabuleiro de Sissa, número de Shannon | Collège (4e) |
Localizar-se: as coordenadas
O tabuleiro é uma quadrícula de 8 colunas (de a a h, da esquerda para a direita para as Brancas) e 8 fileiras (de 1 a 8, a partir do lado das Brancas). Cada casa tem, portanto, um nome único, como um ponto num referencial: indica-se primeiro a coluna e depois a fileira. A localização numa quadrícula figura nos programas de matemática do ensino básico, e é uma das primeiras sessões do programa Class'Échecs.
Exercícios. 1) Em que casa está o rei branco no início da partida? 2) Qual é a casa na intersecção da coluna d com a fileira 5? 3) Quantas casas tem a coluna c? 4) Quantas casas brancas tem o tabuleiro?
Respostas. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32 (tantas quantas as casas pretas).
Linhas, colunas, diagonais
A torre move-se nas linhas e nas colunas, o bispo nas diagonais, a dama em ambas. As crianças descobrem assim famílias de retas: as horizontais, as verticais e duas famílias de diagonais. As duas grandes diagonais (a1-h8 e a8-h1) têm 8 casas; as mais pequenas, nos cantos, apenas uma.
A posição inicial oferece também uma bela simetria axial: as peças brancas e pretas estão dispostas simetricamente em relação à linha que separa as fileiras 4 e 5, a dama branca numa casa branca (d1), a dama preta numa casa preta (d8).
Exercício. Uma dama está colocada em d4 num tabuleiro vazio. Quantas casas controla?
Resposta. 27: 7 casas na coluna d, 7 na fileira 4, 7 na diagonal a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) e 6 na diagonal a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
A paridade: a cor das casas
Um bispo desloca-se na diagonal, e numa diagonal todas as casas têm a mesma cor. Um bispo que parte de uma casa preta nunca visitará, portanto, uma casa branca: é um invariante, uma propriedade que não muda façamos o que fizermos. O cavalo faz o contrário: a cada salto, muda de cor de casa.
Consequência curiosa: para ir de uma casa preta a outra casa preta, um cavalo precisa sempre de um número par de saltos. De a1 a h8 (duas casas pretas), precisa de pelo menos 6. E para ir de a1 a b2, a casa vizinha na diagonal, precisa… de 4 saltos, embora esteja mesmo ao lado! Este raciocínio pela cor das casas é também a chave do célebre problema do tabuleiro mutilado, apresentado na página os grandes quebra-cabeças do tabuleiro.
As distâncias: o rei e a regra do quadrado
O rei avança uma casa em qualquer direção, diagonais incluídas. Para ir de uma casa a outra, precisa, portanto, de tantos lances quanto o maior dos dois desvios, em colunas ou em fileiras. De a1 a h8 são necessários 7 lances (e não 14); de b2 a e4, 3 lances. Os matemáticos chamam a esta forma de medir a distância de Chebyshev: no tabuleiro, os «círculos» à volta do rei são quadrados.
Daí a regra do quadrado, bem conhecida dos jogadores: um rei consegue apanhar um peão adversário que avança para a promoção? Traça-se o quadrado cujo lado vai do peão até à sua casa de promoção. Se o rei estiver dentro deste quadrado, ou puder entrar nele no lance que vai jogar, apanha o peão; caso contrário, o peão torna-se dama. Atenção: um peão ainda na sua casa de partida pode avançar duas casas, deve então traçar-se o quadrado como se já estivesse uma casa mais à frente.
Exercício. Na posição acima, o peão a5 tem de dar 3 passos para chegar a a8. Consegue o rei preto pará-lo a) se forem as Brancas a jogar? b) se forem as Pretas a jogar?
Respostas. a) Não: depois de a6, o quadrado do peão vai de a6 a c8, e o rei preto não consegue entrar nele (depois de Rd5, a7; Rc6, a8=D, o rei está demasiado longe). b) Sim: Rd5 entra no quadrado a5-d8; depois a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
O cálculo: o valor das peças
Atribui-se tradicionalmente um valor às peças: peão 1, cavalo 3, bispo 3, torre 5, dama 9 (o rei, esse, é inestimável). Claude Shannon retoma aliás esta tabela no seu artigo de 1950 sobre a programação do xadrez. Estes valores servem para fazer balanços.
Exercícios. 1) Qual é o valor total das peças de um lado no início da partida, sem contar o rei? 2) As Brancas dão uma torre e capturam um bispo e um peão. Ganharam ou perderam na troca?
Respostas. 1) 8 peões (8) + 2 cavalos (6) + 2 bispos (6) + 2 torres (10) + 1 dama (9) = 39. 2) Dão 5 e recebem 3 + 1 = 4: perderam 1 ponto.
A contagem: quantas casas tem um tabuleiro?
Um tabuleiro tem 8 × 8 = 64 casas, 32 brancas e 32 pretas. Mas se contarmos todos os quadrados que nele se podem desenhar, de todos os tamanhos, encontramos 204: é a soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. O detalhe do cálculo está na página dos quebra-cabeças do tabuleiro.
As potências: quando o tabuleiro se torna imenso
No ensino básico, o tabuleiro de xadrez torna-se um terreno para as potências e a notação científica. Os dois exercícios clássicos são a lenda de Sissa, que conduz a 264 − 1 grãos, e o número de Shannon, cerca de 10120 partidas possíveis. As academias publicam regularmente fichas sobre a lenda do jogo de xadrez para o 8.º ano. Correções detalhadas nas nossas páginas o tabuleiro de Sissa e o número de Shannon.
Que jogos para ir mais longe?
O xadrez não é o único a trabalhar a lógica. As damas, o go ou muitos jogos de tabuleiro modernos também solicitam a antecipação e o raciocínio. O Palais des Échecs apresenta uma seleção: outros jogos de tabuleiro que trabalham a lógica. Para montar uma sequência completa em aula à volta destas noções, veja como montar um projeto pedagógico de xadrez.
Perguntas frequentes
Que noções de matemática se trabalham com o xadrez?
A localização por coordenadas, a geometria (linhas, colunas, diagonais, simetria), a paridade (cor das casas), as distâncias, o cálculo (valor das peças), a contagem e, no ensino secundário, as potências.
Quantas casas tem um tabuleiro de xadrez?
64 casas, distribuídas por 8 colunas e 8 fileiras, das quais 32 brancas e 32 pretas. Se contarmos todos os quadrados de todos os tamanhos, encontramos 204.
O que é a regra do quadrado no xadrez?
É um método para saber se um rei consegue apanhar um peão adversário. Traça-se o quadrado que vai do peão até à sua casa de promoção: se o rei estiver dentro desse quadrado, ou puder entrar nele no lance que joga, apanha o peão.
Porque é que o bispo nunca muda de cor?
Porque se move em diagonal e todas as casas de uma mesma diagonal têm a mesma cor. Um bispo que começa numa casa preta fica nas casas pretas durante toda a partida.