En bref
Sur l'échiquier, un enfant exerce le repérage par coordonnées (chaque case porte une lettre et un chiffre), la géométrie (rangées, colonnes, diagonales), la parité (le fou ne change jamais de couleur), les distances, le calcul (valeur des pièces) et le dénombrement. Ces notions rejoignent les programmes de l'école primaire et du secondaire, ce qui fait des échecs un support tout indiqué pour la classe, au Québec comme en France.
Les échecs ne constituent pas un cours de mathématiques déguisé, mais ils s'en approchent beaucoup. Un enfant qui joue manipule sans s'en rendre compte des concepts que le programme de mathématiques l'amène à maîtriser. Le rôle de l'adulte consiste à mettre ces liens en lumière. Tous les exercices proposés plus bas ont été vérifiés.
- Repérage sur quadrillage
- Habileté qui consiste à situer une case d'un quadrillage à l'aide de deux repères, sa colonne et sa rangée. Sur l'échiquier, les colonnes sont désignées de a à h et les rangées de 1 à 8 : la case e4 se trouve à la croisée de la colonne e et de la rangée 4.
Maths et échecs à la fois : vue d'ensemble
| Notion | Ce qu'on remarque sur l'échiquier | Niveau |
|---|---|---|
| Repérage | Les coordonnées des cases (de a1 à h8) | Cycle 2 |
| Géométrie | Rangées, colonnes, diagonales, symétrie de la position de départ | Cycles 2 et 3 |
| Parité | Le fou reste sur sa couleur, le cavalier la change à chaque saut | Cycle 3, secondaire |
| Distances | Nombre de déplacements du roi et règle du carré | Cycle 3, secondaire |
| Calcul | Valeur des pièces et bilan des échanges | Cycles 2 et 3 |
| Dénombrement | Cases, carrés et déplacements possibles | Cycle 3, secondaire |
| Puissances | L'échiquier de Sissa et le nombre de Shannon | Secondaire (4e) |
Repérer les cases : le système de coordonnées
L'échiquier forme un quadrillage de 8 colonnes (de a à h, de gauche à droite pour les Blancs) et de 8 rangées (de 1 à 8, en partant du côté des Blancs). Chaque case possède donc un nom unique, un peu comme un point dans un repère : on indique d'abord la colonne, puis la rangée. Le repérage sur quadrillage figure dans les programmes de mathématiques du primaire, et c'est l'une des premières séances du programme Class'Échecs.
Exercices. 1) Sur quelle case le roi blanc se trouve-t-il au début de la partie ? 2) Quelle case se situe à l'intersection de la colonne d et de la rangée 5 ? 3) Combien de cases la colonne c comporte-t-elle ? 4) Combien l'échiquier compte-t-il de cases blanches ?
Réponses. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32 (soit le nombre de cases noires).
Rangées, colonnes, diagonales
La tour se déplace sur les rangées et les colonnes, le fou sur les diagonales, la dame sur les deux. Les enfants découvrent ainsi des familles de droites : les horizontales, les verticales et deux familles de diagonales. Les deux grandes diagonales (a1-h8 et a8-h1) comptent chacune 8 cases ; les plus courtes, dans les coins, n'en ont qu'une.
La position de départ présente aussi une belle symétrie axiale : les pièces blanches et noires se répondent de part et d'autre de la ligne qui sépare les rangées 4 et 5, la dame blanche occupant une case blanche (d1) et la dame noire une case noire (d8).
Exercice. Une dame occupe la case d4 sur un échiquier vide. Combien de cases peut-elle contrôler ?
Réponse. 27 : 7 cases sur la colonne d, 7 sur la rangée 4, 7 sur la grande diagonale a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) et 6 sur la diagonale a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
La parité : reconnaître la couleur d'une case
Un fou se déplace en diagonale, et sur une même diagonale, toutes les cases ont la même couleur. Un fou qui part d'une case noire ne visitera donc jamais une case blanche : c'est un invariant, une propriété qui reste vraie quoi qu'on fasse. Le cavalier agit autrement : à chaque saut, il change de couleur.
Conséquence intéressante : pour relier une case noire à une autre case noire, un cavalier a toujours besoin d'un nombre pair de sauts. De a1 à h8 (deux cases noires), il lui en faut au minimum 6. Et pour aller de a1 à b2, case voisine en diagonale, il lui faut… 4 sauts, alors qu'elle est tout près ! Ce raisonnement fondé sur la couleur des cases est aussi la clé du fameux problème de l'échiquier mutilé, présenté sur la page les grands casse-têtes de l'échiquier.
Les distances : le roi et la règle du carré
Le roi avance d'une case dans n'importe quelle direction, diagonales comprises. Pour passer d'une case à une autre, il lui faut donc autant de coups que le plus grand des deux écarts, en colonnes ou en rangées. De a1 à h8, il faut 7 coups (et non 14) ; de b2 à e4, 3 coups. Les mathématiciens nomment cette manière de mesurer la distance « distance de Tchebychev » : sur l'échiquier, les « cercles » autour du roi prennent la forme de carrés.
D'où la règle du carré, bien connue des joueurs : un roi peut-il rattraper un pion adverse qui file vers la promotion ? On dessine le carré dont un côté relie le pion à sa case de promotion. Si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y entrer au coup suivant, il capture le pion ; dans le cas contraire, le pion devient dame. Attention : un pion encore sur sa case de départ peut avancer de deux cases, il faut alors tracer le carré comme s'il était déjà une case plus loin.
Exercice. Dans la position ci-dessus, le pion a5 doit franchir 3 pas pour atteindre a8. Le roi noir peut-il l'arrêter a) si ce sont les Blancs qui jouent ? b) si ce sont les Noirs ?
Réponses. a) Non : après a6, le carré du pion va de a6 à c8, et le roi noir ne peut pas y pénétrer (après Rd5, a7 ; Rc6, a8=D, le roi est trop éloigné). b) Oui : Rd5 entre dans le carré a5-d8 ; puis a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
Le calcul : évaluer la valeur des pièces
On attribue traditionnellement une valeur à chaque pièce : pion 1, cavalier 3, fou 3, tour 5, dame 9 (le roi, lui, n'a pas de prix). Claude Shannon reprend d'ailleurs ce barème dans son article de 1950 sur la programmation des échecs. Ces valeurs servent à faire le bilan d'un échange.
Exercices. 1) Quelle est la valeur totale des pièces d'un camp au début de la partie, sans le roi ? 2) Les Blancs sacrifient une tour et prennent un fou et un pion. Ont-ils gagné ou perdu au change ?
Réponses. 1) 8 pions (8) + 2 cavaliers (6) + 2 fous (6) + 2 tours (10) + 1 dame (9) = 39. 2) Ils cèdent 5 et reçoivent 3 + 1 = 4 : ils perdent 1 point.
Le dénombrement : compter les cases d'un échiquier
Un échiquier compte 8 × 8 = 64 cases, dont 32 blanches et 32 noires. Mais si l'on compte tous les carrés qu'on peut y tracer, de toutes les tailles, on en trouve 204 : c'est la somme 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. Le détail du calcul figure sur la page des casse-têtes de l'échiquier.
Les puissances : lorsque l'échiquier prend des proportions gigantesques
Au secondaire, l'échiquier devient un terrain de jeu pour les puissances et la notation scientifique. Les deux exercices classiques sont la légende de Sissa, qui mène à 264 − 1 grains, et le nombre de Shannon, environ 10120 parties possibles. Les commissions scolaires et les académies en France publient à l'occasion des fiches sur la légende du jeu d'échecs pour la classe de 4e. Des corrigés détaillés se trouvent sur nos pages l'échiquier de Sissa et le nombre de Shannon.
Quels autres jeux explorer ?
Les échecs ne sont pas les seuls à développer la logique. Les dames, le go ou plusieurs jeux de société récents font aussi appel à l'anticipation et au raisonnement. Le Palais des Échecs en présente une sélection : d'autres jeux de société qui stimulent la logique. Pour construire une séquence complète en classe autour de ces notions, voir monter un projet pédagogique en échecs.
Questions fréquentes
Quelles notions de maths aborde-t-on en jouant aux échecs ?
On y trouve le repérage par coordonnées, la géométrie (rangées, colonnes, diagonales, symétrie), la parité (couleur des cases), les distances, le calcul (valeur des pièces), le dénombrement et, au collège, les puissances.
Combien de cases compte un échiquier ?
On en dénombre 64, disposées en 8 colonnes et 8 rangées, avec 32 cases blanches et 32 cases noires. Si l'on compte aussi tous les carrés de toutes les dimensions, le total grimpe à 204.
En quoi consiste la règle du carré aux échecs ?
Il s'agit d'une méthode qui permet de déterminer si un roi réussira à capturer un pion adverse. On dessine le carré reliant le pion à la case où il se transforme : si le roi se trouve à l'intérieur, ou peut y pénétrer au coup suivant, il attrape le pion.
Pourquoi le fou garde-t-il toujours la même couleur de case ?
Il se déplace en diagonale, et toutes les cases d'une diagonale partagent la même couleur. Un fou posé au départ sur une case noire demeure donc sur des cases noires pendant toute la partie.