Kort samengevat
Op het schaakbord oefent een kind met positiebepaling via coördinaten (elk veld heeft een letter en een cijfer), meetkunde (rijen, kolommen, diagonalen), pariteit (de loper verandert nooit van kleur), afstanden, rekenen (de waarde van de stukken) en tellen. Deze begrippen sluiten aan bij het leerplan van de basisschool en de middelbare school, waardoor schaken en wiskunde spelenderwijs een natuurlijke aanvulling op de les zijn.
Schaken is geen verkapte wiskundeles, maar het ligt er heel dicht bij. Een kind dat speelt, hanteert zonder het te beseffen begrippen die het wiskundeprogramma van hem verwacht dat hij beheerst. De rol van de volwassene is die verbanden zichtbaar te maken. De onderstaande oefeningen zijn allemaal nagekeken.
- Positiebepaling op een rooster
- Vaardigheid om een veld van een rooster aan te duiden met twee gegevens: zijn kolom en zijn rij. Op het schaakbord worden de kolommen aangeduid met a tot h en de rijen met 1 tot 8: veld e4 ligt op het snijpunt van kolom e en rij 4.
Schaken en wiskunde spelenderwijs: overzicht
| Begrip | Wat je op het schaakbord ziet | Niveau |
|---|---|---|
| Positiebepaling | De coördinaten van de velden (a1 tot h8) | Cyclus 2 |
| Meetkunde | Rijen, kolommen, diagonalen, symmetrie van de startstelling | Cycli 2 en 3 |
| Pariteit | De loper blijft op zijn kleur, het paard verandert bij elke sprong van kleur | Cyclus 3, middelbare school |
| Afstanden | Aantal zetten van de koning, vierkantsregel | Cyclus 3, middelbare school |
| Rekenen | Waarde van de stukken, balans van de ruilen | Cycli 2 en 3 |
| Tellen | Velden, vierkanten, mogelijke zetten | Cyclus 3, middelbare school |
| Machten | Schaakbord van Sissa, getal van Shannon | Middelbare school (4e) |
Je oriënteren: de coördinaten
Het schaakbord is een rooster van 8 kolommen (van a tot h, van links naar rechts vanuit het oogpunt van Wit) en 8 rijen (van 1 tot 8, vanaf de kant van Wit). Elk veld heeft dus een unieke naam, zoals een punt in een assenstelsel: eerst geef je de kolom, dan de rij. Het bepalen van posities op een rooster staat in het wiskundeprogramma van de basisschool, en het is een van de eerste lessen van het programma Class'Échecs.
Oefeningen. 1) Op welk veld staat de witte koning aan het begin van de partij? 2) Welk veld ligt op het snijpunt van kolom d en rij 5? 3) Hoeveel velden telt kolom c? 4) Hoeveel witte velden telt het schaakbord?
Antwoorden. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32 (evenveel als zwarte velden).
Rijen, kolommen, diagonalen
De toren beweegt over rijen en kolommen, de loper over diagonalen, de dame over beide. Zo ontdekken kinderen families van lijnen: de horizontalen, de verticalen en twee families van diagonalen. De twee grote diagonalen (a1-h8 en a8-h1) tellen 8 velden; de kleinere in de hoeken slechts één.
De startstelling biedt ook een mooie asymmetrie: de witte en zwarte stukken staan symmetrisch ten opzichte van de lijn die de rijen 4 en 5 scheidt; de witte dame staat op een wit veld (d1), de zwarte dame op een zwart veld (d8).
Oefening. Een dame staat op d4 op een leeg schaakbord. Hoeveel velden beheerst ze?
Antwoord. 27: 7 velden op kolom d, 7 op rij 4, 7 op de diagonaal a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) en 6 op de diagonaal a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
Pariteit: de kleur van de velden
Een loper beweegt zich diagonaal, en op een diagonaal hebben alle velden dezelfde kleur. Een loper die van een zwart veld vertrekt, zal dus nooit een wit veld bezoeken: het is een invariant, een eigenschap die niet verandert, wat je ook doet. Het paard doet het omgekeerde: bij elke sprong verandert het van veldkleur.
Een leuk gevolg: om van een zwart veld naar een ander zwart veld te gaan, heeft een paard altijd een even aantal sprongen nodig. Van a1 naar h8 (twee zwarte velden) heeft het minstens 6 sprongen nodig. En om van a1 naar b2 te gaan, het naburige veld op de diagonaal, heeft het… 4 sprongen nodig, terwijl het er vlak naast ligt! Deze redenering op basis van de veldkleur is ook de sleutel tot het beroemde probleem van het verminkte schaakbord, dat op de pagina de grote puzzels van het schaakbord wordt voorgesteld.
Afstanden: de koning en de vierkantsregel
De koning gaat één veld vooruit in elke richting, ook diagonaal. Om van het ene veld naar het andere te gaan, heeft hij dus evenveel zetten nodig als het grootste van de twee verschillen, in kolommen of in rijen. Van a1 naar h8 zijn 7 zetten nodig (en niet 14); van b2 naar e4, 3 zetten. Wiskundigen noemen deze manier om afstand te meten de Tsjebysjevafstand: op het schaakbord zijn de "cirkels" rond de koning vierkanten.
Vandaar de vierkantsregel, bekend bij spelers: kan een koning een tegenstanderspion inhalen die richting promotie loopt? Je tekent het vierkant waarvan een zijde loopt van de pion tot zijn promotieveld. Als de koning in dat vierkant staat, of er met zijn volgende zet in kan komen, haalt hij de pion in; anders wordt de pion een dame. Let op: een pion die nog op zijn beginveld staat, mag twee velden vooruit, dan moet je het vierkant tekenen alsof hij al een veld verder stond.
Oefening. In de stelling hierboven moet de pion a5 3 stappen zetten om a8 te bereiken. Kan de zwarte koning hem tegenhouden a) als Wit aan zet is? b) als Zwart aan zet is?
Antwoorden. a) Nee: na a6 loopt het vierkant van de pion van a6 naar c8, en de zwarte koning kan er niet in komen (na Kd5, a7; Kc6, a8=D, is de koning te ver weg). b) Ja: Kd5 komt in het vierkant a5-d8; dan a6 Kc6, a7 Kb7, a8=D+ Kxa8.
Rekenen: de waarde van de stukken
Aan de stukken wordt traditioneel een waarde toegekend: pion 1, paard 3, loper 3, toren 5, dame 9 (de koning is onschatbaar). Claude Shannon neemt deze schaal trouwens over in zijn artikel uit 1950 over het programmeren van schaken. Deze waarden dienen om ruilen te beoordelen.
Oefeningen. 1) Wat is de totale waarde van de stukken van één kant aan het begin van de partij, zonder de koning? 2) Wit geeft een toren en neemt een loper en een pion. Hebben ze bij de ruil gewonnen of verloren?
Antwoorden. 1) 8 pionnen (8) + 2 paarden (6) + 2 lopers (6) + 2 torens (10) + 1 dame (9) = 39. 2) Ze geven 5 en ontvangen 3 + 1 = 4: ze hebben 1 punt verloren.
Tellen: hoeveel velden heeft een schaakbord?
Een schaakbord telt 8 × 8 = 64 velden, 32 witte en 32 zwarte. Maar als je alle vierkanten telt die je erop kunt tekenen, van alle formaten, kom je op 204: dat is de som 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. De uitwerking staat op de pagina over de puzzels van het schaakbord.
Machten: wanneer het schaakbord enorm wordt
Op de middelbare school wordt het schaakbord een terrein voor machten en de wetenschappelijke notatie. De twee klassieke oefeningen zijn de legende van Sissa, die leidt tot 264 − 1 korrels, en het getal van Shannon, ongeveer 10120 mogelijke partijen. Onderwijsinstanties publiceren regelmatig fiches over de legende van het schaakspel voor de 4e klas. Uitgewerkte antwoorden vind je op onze pagina's over het schaakbord van Sissa en het getal van Shannon.
Welke spellen om verder te gaan?
Schaken is niet het enige spel dat logica traint. Dammen, go of heel wat moderne bordspellen vragen ook vooruitdenken en redeneren. Le Palais des Échecs geeft er een selectie van: andere bordspellen die de logica trainen. Om in de klas een volledige reeks rond deze begrippen op te zetten, zie een pedagogisch project rond schaken opzetten.
Veelgestelde vragen
Welke wiskundige begrippen oefen je met schaken?
Positiebepaling via coördinaten, meetkunde (rijen, kolommen, diagonalen, symmetrie), pariteit (kleur van de velden), afstanden, rekenen (waarde van de stukken), tellen en, op de middelbare school, machten.
Hoeveel velden heeft een schaakbord?
64 velden, verdeeld over 8 kolommen en 8 rijen, waarvan 32 witte en 32 zwarte. Als je alle vierkanten van alle formaten telt, kom je op 204.
Wat is de vierkantsregel bij schaken?
Het is een methode om te bepalen of een koning een opgerukte tegenstanderspion kan inhalen. Je tekent het vierkant dat loopt van de pion tot zijn promotieveld: staat de koning in dat vierkant, of kan hij er met zijn volgende zet in komen, dan haalt hij de pion in.
Waarom verandert de loper nooit van kleur?
Omdat hij zich diagonaal verplaatst en alle velden op dezelfde diagonaal dezelfde kleur hebben. Een loper die op een zwart veld begint, blijft de hele partij op zwarte velden.