En bref
Sur l'échiquier, un enfant travaille le repérage par coordonnées (chaque case a une lettre et un chiffre), la géométrie (lignes, colonnes, diagonales), la parité (le fou ne change jamais de couleur), les distances, le calcul (valeur des pièces) et le dénombrement. Ces notions correspondent aux programmes de l'école élémentaire et du collège, ce qui fait des échecs et maths en jeux un support naturel pour la classe.
Les échecs ne sont pas une leçon de mathématiques déguisée, mais ils en sont très proches. Un enfant qui joue manipule sans le savoir des concepts que le programme de mathématiques lui demande de maîtriser. Le rôle de l'adulte est de rendre ces liens visibles. Les exercices ci-dessous ont tous été vérifiés.
- Repérage sur quadrillage
- Compétence qui consiste à désigner une case d'un quadrillage par deux informations, sa colonne et sa ligne. Sur l'échiquier, les colonnes sont notées de a à h et les rangées de 1 à 8 : la case e4 est à l'intersection de la colonne e et de la rangée 4.
Échecs et maths en jeux : vue d'ensemble
| Notion | Ce que l'on observe sur l'échiquier | Niveau |
|---|---|---|
| Repérage | Les coordonnées des cases (a1 à h8) | Cycle 2 |
| Géométrie | Lignes, colonnes, diagonales, symétrie de la position initiale | Cycles 2 et 3 |
| Parité | Le fou reste sur sa couleur, le cavalier en change à chaque saut | Cycle 3, collège |
| Distances | Nombre de coups du roi, règle du carré | Cycle 3, collège |
| Calcul | Valeur des pièces, bilan des échanges | Cycles 2 et 3 |
| Dénombrement | Cases, carrés, coups possibles | Cycle 3, collège |
| Puissances | Échiquier de Sissa, nombre de Shannon | Collège (4e) |
Se repérer : les coordonnées
L'échiquier est un quadrillage de 8 colonnes (de a à h, de gauche à droite pour les Blancs) et de 8 rangées (de 1 à 8, en partant du côté des Blancs). Chaque case a donc un nom unique, comme un point dans un repère : on donne d'abord la colonne, puis la rangée. Le repérage sur un quadrillage figure dans les programmes de mathématiques de l'école élémentaire, et c'est l'une des premières séances du programme Class'Échecs.
Exercices. 1) Sur quelle case se trouve le roi blanc au début de la partie ? 2) Quelle case est à l'intersection de la colonne d et de la rangée 5 ? 3) Combien de cases compte la colonne c ? 4) Combien l'échiquier compte-t-il de cases blanches ?
Réponses. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32 (autant que de cases noires).
Lignes, colonnes, diagonales
La tour se déplace sur les lignes et les colonnes, le fou sur les diagonales, la dame sur les deux. Les enfants découvrent ainsi des familles de droites : les horizontales, les verticales, et deux familles de diagonales. Les deux grandes diagonales (a1-h8 et a8-h1) comptent 8 cases ; les plus petites, dans les coins, une seule.
La position initiale offre aussi une belle symétrie axiale : les pièces blanches et noires sont disposées symétriquement par rapport à la ligne qui sépare les rangées 4 et 5, la dame blanche sur une case blanche (d1), la dame noire sur une case noire (d8).
Exercice. Une dame est placée en d4 sur un échiquier vide. Combien de cases contrôle-t-elle ?
Réponse. 27 : 7 cases sur la colonne d, 7 sur la rangée 4, 7 sur la diagonale a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) et 6 sur la diagonale a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
La parité : la couleur des cases
Un fou se déplace en diagonale, et sur une diagonale, toutes les cases ont la même couleur. Un fou qui part d'une case noire ne visitera donc jamais une case blanche : c'est un invariant, une propriété qui ne change pas quoi que l'on fasse. Le cavalier fait le contraire : à chaque saut, il change de couleur de case.
Conséquence amusante : pour aller d'une case noire à une autre case noire, un cavalier a toujours besoin d'un nombre pair de sauts. De a1 à h8 (deux cases noires), il lui en faut au minimum 6. Et pour aller de a1 à b2, la case voisine en diagonale, il lui faut… 4 sauts, alors qu'elle est juste à côté ! Ce raisonnement par la couleur des cases est aussi la clé du célèbre problème de l'échiquier mutilé, présenté sur la page les grands casse-têtes de l'échiquier.
Les distances : le roi et la règle du carré
Le roi avance d'une case dans n'importe quelle direction, diagonales comprises. Pour aller d'une case à une autre, il lui faut donc autant de coups que le plus grand des deux écarts, en colonnes ou en rangées. De a1 à h8, il faut 7 coups (et non 14) ; de b2 à e4, 3 coups. Les mathématiciens appellent cette façon de mesurer la distance de Tchebychev : sur l'échiquier, les « cercles » autour du roi sont des carrés.
D'où la règle du carré, bien connue des joueurs : un roi peut-il rattraper un pion adverse qui file vers la promotion ? On trace le carré dont un côté va du pion jusqu'à sa case de promotion. Si le roi est dans ce carré, ou peut y entrer au coup qu'il va jouer, il rattrape le pion ; sinon, le pion devient dame. Attention : un pion encore sur sa case de départ peut avancer de deux cases, il faut alors tracer le carré comme s'il était déjà une case plus loin.
Exercice. Dans la position ci-dessus, le pion a5 doit faire 3 pas pour atteindre a8. Le roi noir peut-il l'arrêter a) si ce sont les Blancs qui jouent ? b) si ce sont les Noirs ?
Réponses. a) Non : après a6, le carré du pion va de a6 à c8, et le roi noir ne peut pas y entrer (après Rd5, a7 ; Rc6, a8=D, le roi est trop loin). b) Oui : Rd5 entre dans le carré a5-d8 ; puis a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
Le calcul : la valeur des pièces
On attribue traditionnellement une valeur aux pièces : pion 1, cavalier 3, fou 3, tour 5, dame 9 (le roi, lui, est inestimable). Claude Shannon reprend d'ailleurs ce barème dans son article de 1950 sur la programmation des échecs. Ces valeurs servent à faire des bilans.
Exercices. 1) Quelle est la valeur totale des pièces d'un camp au début de la partie, sans le roi ? 2) Les Blancs donnent une tour et prennent un fou et un pion. Ont-ils gagné ou perdu au change ?
Réponses. 1) 8 pions (8) + 2 cavaliers (6) + 2 fous (6) + 2 tours (10) + 1 dame (9) = 39. 2) Ils donnent 5 et reçoivent 3 + 1 = 4 : ils ont perdu 1 point.
Le dénombrement : combien de cases sur un échiquier ?
Un échiquier compte 8 × 8 = 64 cases, 32 blanches et 32 noires. Mais si l'on compte tous les carrés que l'on peut y dessiner, de toutes les tailles, on en trouve 204 : c'est la somme 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. Le détail du calcul est sur la page des casse-têtes de l'échiquier.
Les puissances : quand l'échiquier devient immense
Au collège, l'échiquier devient un terrain pour les puissances et la notation scientifique. Les deux exercices classiques sont la légende de Sissa, qui conduit à 264 − 1 grains, et le nombre de Shannon, environ 10120 parties possibles. Les académies publient régulièrement des fiches sur la légende du jeu d'échecs pour la classe de 4e. Corrigés détaillés sur nos pages l'échiquier de Sissa et le nombre de Shannon.
Quels jeux pour aller plus loin ?
Les échecs ne sont pas les seuls à faire travailler la logique. Les dames, le go ou de nombreux jeux de société modernes sollicitent aussi l'anticipation et le raisonnement. Le Palais des Échecs en présente une sélection : d'autres jeux de société qui font travailler la logique. Pour monter une séquence complète en classe autour de ces notions, voir monter un projet pédagogique échecs.
Questions fréquentes
Quelles notions de maths travaille-t-on avec les échecs ?
Le repérage par coordonnées, la géométrie (lignes, colonnes, diagonales, symétrie), la parité (couleur des cases), les distances, le calcul (valeur des pièces), le dénombrement et, au collège, les puissances.
Combien de cases y a-t-il sur un échiquier ?
64 cases, réparties en 8 colonnes et 8 rangées, dont 32 blanches et 32 noires. Si l'on compte tous les carrés de toutes les tailles, on en trouve 204.
Qu'est-ce que la règle du carré aux échecs ?
C'est une méthode pour savoir si un roi peut rattraper un pion adverse. On trace le carré qui va du pion à sa case de promotion : si le roi est dans ce carré, ou peut y entrer au coup qu'il joue, il rattrape le pion.
Pourquoi le fou ne change-t-il jamais de couleur ?
Parce qu'il se déplace en diagonale et que toutes les cases d'une même diagonale ont la même couleur. Un fou qui commence sur une case noire reste sur les cases noires toute la partie.