En résumé
Sur l'échiquier, un enfant exerce le repérage par coordonnées (chaque case porte une lettre et un chiffre), la géométrie (lignes, colonnes, diagonales), la parité (le fou ne change jamais de couleur), les distances, le calcul (valeur des pièces) et le dénombrement. Ces notions figurent dans les programmes de l'école élémentaire et du collège, ce qui fait des échecs et mathématiques un support naturel pour la classe.
Les échecs ne constituent pas un cours de mathématiques déguisé, mais ils en sont très proches. Un enfant qui joue manipule sans s'en rendre compte des concepts que le programme de mathématiques l'invite à maîtriser. Il revient à l'adulte de mettre ces liens en évidence. Les exercices ci-dessous ont tous été vérifiés.
- Repérage sur quadrillage
- Aptitude à désigner une case d'un quadrillage au moyen de deux indications, sa colonne et sa rangée. Sur l'échiquier, les colonnes portent les lettres de a à h et les rangées les chiffres de 1 à 8 : la case e4 se situe à la croisée de la colonne e et de la rangée 4.
Échecs et mathématiques : vue d'ensemble
| Notion | Ce qu'on observe sur l'échiquier | Niveau |
|---|---|---|
| Repérage | Les coordonnées des cases (de a1 à h8) | Cycle 2 |
| Géométrie | Lignes, colonnes, diagonales, symétrie de la position de départ | Cycles 2 et 3 |
| Parité | Le fou reste sur sa couleur, le cavalier la change à chaque saut | Cycle 3, collège |
| Distances | Coups du roi : le nombre de déplacements et la règle du carré | Cycle 3, collège |
| Calcul | Ce que vaut chaque pièce et le bilan des échanges | Cycles 2 et 3 |
| Dénombrement | Compter les cases, les carrés et les déplacements possibles | Cycle 3, collège |
| Puissances | La légende de Sissa et le nombre de Shannon | Collège (4e) |
Trouver sa place : les coordonnées sur l'échiquier
L'échiquier forme un quadrillage de 8 colonnes (de a à h, de gauche à droite pour les Blancs) et de 8 rangées (de 1 à 8, en partant du côté des Blancs). Chaque case possède ainsi un nom unique, à la manière d'un point dans un repère : on indique d'abord la colonne, puis la rangée. Le repérage sur quadrillage fait partie des programmes de mathématiques de l'école élémentaire, et constitue l'une des premières séances du programme Class'Échecs.
Exercices. 1) Sur quelle case le roi blanc se trouve-t-il au début de la partie ? 2) Quelle case se situe à l'intersection de la colonne d et de la rangée 5 ? 3) Combien la colonne c compte-t-elle de cases ? 4) Combien de cases blanches l'échiquier compte-t-il ?
Solutions. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32, soit autant que de cases noires.
Lignes, colonnes et diagonales
La tour circule sur les lignes et les colonnes, le fou sur les diagonales, la dame sur les deux à la fois. Les enfants découvrent ainsi des familles de droites : les horizontales, les verticales et deux familles de diagonales. Les deux grandes diagonales (a1-h8 et a8-h1) comptent 8 cases chacune ; les plus courtes, dans les coins, n'en comptent qu'une seule.
La position de départ présente également une belle symétrie axiale : les pièces blanches et noires se répondent de part et d'autre de la ligne qui sépare les rangées 4 et 5, la dame blanche occupant une case blanche (d1), la dame noire une case noire (d8).
Exercice. Sur un échiquier vide, une dame se trouve en d4. Quel est le nombre de cases qu'elle surveille ?
Solution. Elle en surveille 27 : sept sur la colonne d, sept sur la rangée 4, sept sur la diagonale a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) et six sur la diagonale a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
Parité : quelle est la couleur d'une case ?
Le fou se déplace en diagonale, et sur une même diagonale, toutes les cases sont de la même couleur. Un fou partant d'une case noire ne visitera donc jamais une case blanche : c'est un invariant, une propriété qui demeure quoi qu'il arrive. Le cavalier agit autrement : à chaque saut, il change de couleur.
Conséquence amusante : pour relier une case noire à une autre case noire, un cavalier a toujours besoin d'un nombre pair de sauts. Pour aller de a1 à h8 (deux cases noires), il lui en faut au minimum 6. Et pour rejoindre b2 depuis a1, case voisine en diagonale, il lui faut… 4 sauts, alors qu'elle est juste à côté ! Ce raisonnement fondé sur la couleur des cases est aussi la clé du fameux problème de l'échiquier mutilé, présenté sur la page les grands casse-têtes de l'échiquier.
Distances : le roi et la règle du carré
Le roi avance d'une case dans n'importe quelle direction, diagonales comprises. Pour atteindre une case depuis une autre, il lui faut donc autant de coups que le plus grand des deux écarts, en colonnes ou en rangées. De a1 à h8, il faut 7 coups (et non 14) ; de b2 à e4, 3 coups. Les mathématiciens nomment cette manière de mesurer la distance « distance de Tchebychev » : sur l'échiquier, les « cercles » autour du roi prennent la forme de carrés.
De là découle la règle du carré, bien connue des joueurs : un roi peut-il rattraper un pion adverse qui file vers la promotion ? On trace le carré dont un côté relie le pion à sa case de promotion. Si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y entrer au coup suivant, il capture le pion ; sinon, le pion devient dame. Attention : un pion encore sur sa case de départ peut avancer de deux cases, il faut alors tracer le carré comme s'il était déjà une case plus loin.
Exercice. Dans la position ci-dessus, le pion a5 doit effectuer 3 pas pour atteindre a8. Le roi noir peut-il l'arrêter a) si ce sont les Blancs qui jouent ? b) si ce sont les Noirs ?
Réponses. a) Non : après a6, le carré du pion va de a6 à c8, et le roi noir ne peut pas y pénétrer (après Rd5, a7 ; Rc6, a8=D, le roi est trop éloigné). b) Oui : Rd5 entre dans le carré a5-d8 ; puis a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
Calcul : combien valent les pièces ?
On attribue traditionnellement une valeur aux pièces : pion 1, cavalier 3, fou 3, tour 5, dame 9 (le roi, lui, n'a pas de prix, puisqu'on ne peut pas le perdre). Claude Shannon reprend d'ailleurs ce barème dans son article de 1950 consacré à la programmation des échecs. Ces valeurs servent à établir des bilans.
Exercices. 1) Quelle est la valeur totale des pièces d'un camp au début de la partie, sans compter le roi ? 2) Les Blancs sacrifient une tour et capturent un fou et un pion. Ont-ils gagné ou perdu au change ?
Solutions. 1) 8 pions (8), 2 cavaliers (6), 2 fous (6), 2 tours (10) et 1 dame (9) font un total de 39. 2) Ils cèdent 5 points et en reçoivent 3 + 1 = 4 : leur bilan est donc de 1 point en moins.
Dénombrer : combien de cases compte un échiquier ?
Un échiquier compte 8 × 8 = 64 cases, dont 32 blanches et 32 noires. Mais si l'on dénombre tous les carrés qu'on peut y tracer, de toutes tailles, on en trouve 204 : c'est la somme 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. Le détail du calcul figure sur la page consacrée aux casse-têtes de l'échiquier.
Puissances : quand l'échiquier devient gigantesque
Au collège, l'échiquier devient un terrain d'exploration pour les puissances et l'écriture scientifique. Les deux exercices classiques sont la légende de Sissa, qui conduit à 264 − 1 grains, et le nombre de Shannon, d'environ 10120 parties possibles. Des fiches sur la légende du jeu d'échecs destinées à la classe de 4e sont régulièrement publiées par les académies. Des corrigés détaillés se trouvent sur nos pages consacrées à l'échiquier de Sissa et au nombre de Shannon.
Quels jeux explorer ensuite ?
Les échecs ne sont pas les seuls à stimuler la logique. Les dames, le go ou de nombreux jeux de société contemporains font également appel à l'anticipation et au raisonnement. Le Palais des Échecs en propose une sélection : d'autres jeux de société qui développent la logique. Pour construire une séquence complète en classe autour de ces notions, voir mettre en place un projet pédagogique autour des échecs. Lecteurs du Grand-Duché, la Fédération luxembourgeoise des échecs (FLDE) peut vous renseigner sur les ressources disponibles près de chez vous, à Luxembourg-Ville, Esch-sur-Alzette ou Differdange.
Questions fréquentes
Quelles notions mathématiques travaille-t-on avec les échecs ?
Au programme : le repérage par coordonnées, la géométrie (lignes, colonnes, diagonales et symétrie), la parité (couleur des cases), les distances, le calcul de la valeur des pièces, le dénombrement et, au collège, les puissances.
Combien de cases compte un échiquier ?
64 cases, réparties sur 8 colonnes et 8 rangées, dont 32 blanches et 32 noires. Si l'on dénombre tous les carrés, quelle que soit leur taille, on en trouve 204.
Que signifie la règle du carré aux échecs ?
Il s'agit d'une méthode permettant de déterminer si un roi parvient à capturer un pion adverse. On dessine le carré reliant le pion à sa case de promotion : si le roi se trouve à l'intérieur, ou peut y pénétrer au coup suivant, il capture le pion.
Pourquoi le fou ne change-t-il jamais de couleur de case ?
Il progresse en diagonale, or toutes les cases d'une même diagonale partagent la même couleur. Un fou démarrant sur une case noire ne quittera donc jamais les cases noires pendant toute la partie.