En bref
Sur l'échiquier, l'élève s'exerce au repérage par coordonnées (chaque case porte une lettre et un chiffre), à la géométrie (rangées, colonnes, diagonales), à la parité (le fou ne change jamais de couleur), aux distances, au calcul (valeur des pièces) et au comptage. Ces notions figurent dans les programmes de l'école primaire et du collège, ce qui fait des échecs et des mathématiques un appui naturel pour la classe, y compris pour les familles de Belgique francophone, où la Fédération francophone belge des échecs (FRBE-KBSB) propose aussi des ressources.
Les échecs ne constituent pas un cours de mathématiques déguisé, mais ils s'en approchent beaucoup. Un enfant qui joue manipule sans s'en rendre compte des concepts que le programme de mathématiques lui demande de maîtriser. Le rôle de l'adulte consiste à mettre ces liens en évidence. Tous les exercices ci-dessous ont été contrôlés.
- Repérage sur quadrillage
- Capacité à localiser une case d'un quadrillage grâce à deux indications : sa colonne et sa rangée. Sur l'échiquier, les colonnes portent les lettres de a à h et les rangées les chiffres de 1 à 8 : la case e4 se situe à la croisée de la colonne e et de la rangée 4.
Échecs et mathématiques en pratique : vue d'ensemble
| Notion | Ce qu'on observe sur l'échiquier | Niveau |
|---|---|---|
| Repérage | Les coordonnées des cases (de a1 à h8) | Cycle 2 |
| Géométrie | Rangées, colonnes, diagonales, symétrie de la position de départ | Cycles 2 et 3 |
| Parité | Le fou reste sur sa couleur, le cavalier change de couleur à chaque saut | Cycle 3, collège |
| Distances | Déplacements du roi : la règle du carré | Cycle 3, collège |
| Calcul | Combien vaut chaque pièce, et que rapportent les échanges ? | Cycles 2 et 3 |
| Comptage | Cases, carrés et mouvements possibles | Cycle 3, collège |
| Puissances | La légende de Sissa et le nombre de Shannon | Collège (4e) |
Trouver sa place : les coordonnées
L'échiquier forme un quadrillage de 8 colonnes (de a à h, de gauche à droite pour les Blancs) et de 8 rangées (de 1 à 8, en partant du côté des Blancs). Chaque case possède ainsi un nom unique, à la manière d'un point dans un repère : on indique d'abord la colonne, puis la rangée. Le repérage sur quadrillage figure dans les programmes de mathématiques de l'école primaire, et c'est l'une des premières séances du programme Class'Échecs.
Exercices. 1) Sur quelle case le roi blanc se trouve-t-il au départ de la partie ? 2) Quelle case se situe à la croisée de la colonne d et de la rangée 5 ? 3) Combien de cases compte la colonne c ? 4) Combien y a-t-il de cases blanches sur l'échiquier ?
Solutions. 1) e1. 2) d5. 3) 8. 4) 32 (soit le nombre de cases noires).
Lignes, colonnes et diagonales
La tour circule sur les lignes et les colonnes, le fou sur les diagonales, la dame sur les deux. Les élèves découvrent ainsi des familles de droites : les horizontales, les verticales et deux familles de diagonales. Les deux grandes diagonales (a1-h8 et a8-h1) comptent 8 cases chacune ; les plus courtes, dans les coins, n'en comptent qu'une seule.
La position de départ présente également une belle symétrie axiale : les pièces blanches et noires sont disposées de manière symétrique par rapport à la ligne qui sépare les rangées 4 et 5. La dame blanche occupe une case blanche (d1), la dame noire une case noire (d8).
Question d'entraînement. Sur un échiquier vide, une dame occupe la case d4. Quel est le nombre de cases qu'elle peut contrôler ?
Solution. 27 au total : 7 cases sur la colonne d, 7 sur la rangée 4, 7 sur la diagonale a1-h8 (a1, b2, c3, e5, f6, g7, h8) et 6 sur la diagonale a7-g1 (a7, b6, c5, e3, f2, g1).
Une question de parité : la couleur des cases
Un fou progresse en diagonale, et sur une même diagonale, toutes les cases présentent la même couleur. Un fou qui part d'une case noire ne visitera donc jamais une case blanche : il s'agit d'un invariant, une propriété qui demeure quoi qu'il arrive. Le cavalier agit différemment : à chaque saut, il change de couleur.
Conséquence intéressante : pour rejoindre une case noire depuis une autre case noire, un cavalier a toujours besoin d'un nombre pair de sauts. De a1 à h8 (deux cases noires), il lui en faut au moins 6. Et pour aller de a1 à b2, la case voisine en diagonale, il lui faut… 4 sauts, alors qu'elle se trouve juste à côté ! Ce raisonnement fondé sur la couleur des cases est aussi la clé du fameux problème de l'échiquier mutilé, présenté sur la page les grands casse-têtes de l'échiquier.
Mesurer les distances : le roi et la règle du carré
Le roi avance d'une case dans n'importe quelle direction, y compris en diagonale. Pour rejoindre une case depuis une autre, il lui faut donc autant de coups que l'écart le plus grand entre les colonnes et les rangées. De a1 à h8, il faut 7 coups (et non 14) ; de b2 à e4, 3 coups. Les mathématiciens nomment cette manière de mesurer la distance « distance de Tchebychev » : sur l'échiquier, les « cercles » autour du roi prennent la forme de carrés.
D'où la règle du carré, bien connue des joueurs : un roi peut-il rattraper un pion adverse qui se dirige vers la promotion ? On trace le carré dont un côté relie le pion à sa case de promotion. Si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y entrer au coup suivant, il capture le pion ; sinon, le pion devient dame. Attention : un pion encore sur sa case de départ peut avancer de deux cases, il faut alors tracer le carré comme s'il était déjà une case plus loin.
Exercice. Dans la position ci-dessus, le pion a5 doit effectuer 3 pas pour atteindre a8. Le roi noir peut-il l'arrêter a) si ce sont les Blancs qui jouent ? b) si ce sont les Noirs qui jouent ?
Réponses. a) Non : après a6, le carré du pion va de a6 à c8, et le roi noir ne peut pas y pénétrer (après Rd5, a7 ; Rc6, a8=D, le roi est trop éloigné). b) Oui : Rd5 entre dans le carré a5-d8 ; puis a6 Rc6, a7 Rb7, a8=D+ Rxa8.
Compter juste : la valeur numérique des pièces
On attribue traditionnellement une valeur aux pièces : pion 1, cavalier 3, fou 3, tour 5, dame 9 (le roi, lui, est sans prix). Claude Shannon reprend d'ailleurs ce barème dans son article de 1950 consacré à la programmation des échecs. Ces valeurs servent à établir des bilans.
Exercices. 1) Quelle est la valeur totale des pièces d'un camp au début de la partie, sans compter le roi ? 2) Les Blancs sacrifient une tour et capturent un fou et un pion. Ont-ils gagné ou perdu à l'échange ?
Réponses. 1) 8 pions (8) + 2 cavaliers (6) + 2 fous (6) + 2 tours (10) + 1 dame (9) = 39. 2) Ils cèdent 5 et reçoivent 3 + 1 = 4 : ils ont perdu 1 point.
Le comptage : combien de cases sur un échiquier ?
Un échiquier compte 8 × 8 = 64 cases, dont 32 blanches et 32 noires. Mais si l'on compte tous les carrés qu'on peut y tracer, de toutes tailles, on en trouve 204 : il s'agit de la somme 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64. Le détail du calcul figure sur la page consacrée aux casse-têtes de l'échiquier.
Des puissances qui donnent le vertige : l'échiquier démesuré
Au collège, l'échiquier devient un terrain d'étude des puissances et de l'écriture scientifique. Les deux exercices classiques sont la légende de Sissa, qui conduit à 264 − 1 grains, et le nombre de Shannon, d'environ 10120 parties possibles. Les académies publient régulièrement des fiches sur la légende du jeu d'échecs à destination des élèves de 4e. Des corrigés détaillés se trouvent sur nos pages l'échiquier de Sissa et le nombre de Shannon.
Vers quels jeux se tourner pour progresser ?
Les échecs ne sont pas les seuls à développer la logique. Les dames, le go ou de nombreux jeux de société modernes sollicitent eux aussi l'anticipation et le raisonnement. Le Palais des Échecs en propose une sélection : d'autres jeux de société qui entraînent la logique. Pour organiser une séquence complète en classe autour de ces notions, voir monter un projet pédagogique autour des échecs.
Questions fréquentes
Quels concepts mathématiques aborde-t-on avec les échecs ?
Le repérage par coordonnées, la géométrie (rangées, colonnes, diagonales, symétrie), la parité (couleur des cases), les distances, le calcul (valeur des pièces), le comptage et, au collège, les puissances.
Combien compte-t-on de cases sur un échiquier ?
64 cases, réparties sur 8 colonnes et 8 rangées, dont 32 blanches et 32 noires. Si l'on compte tous les carrés de toutes tailles, on en trouve 204.
En quoi consiste la règle du carré aux échecs ?
Il s'agit d'un procédé permettant de déterminer si un roi parvient à capturer un pion ennemi. On trace le carré qui relie le pion à sa case de promotion : si le roi se trouve dans ce carré, ou peut y pénétrer au coup qu'il joue, il capture le pion.
Pour quelle raison le fou ne change-t-il jamais de couleur ?
Parce qu'il progresse en diagonale, et que toutes les cases d'une même diagonale ont la même couleur. Un fou qui démarre sur une case noire reste sur les cases noires durant toute la partie.